Правила выполнения простейших арифметических действий
Арифметические операции для двоичных и шестнадцатеричных чисел выполняются по тем же правилам, что и для десятичных чисел, которые хорошо знакомы читателю. Рассмотрим на примерах выполнение таких арифметических операций, как сложение, вычитание и умножение для целых чисел.
Правила сложения
Таблица сложения двоичных цифр имеет вид (желтым цветом выделены значения суммы):
0
1
0
0
1
1
1
10
Пример 1. Сложить двоичные числа 1101 и 11011.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
5
4
3
2
1
слагаемые:
1
1
0
1
1
1
0
1
1
Процесс образования суммы по разрядам описан ниже:
а) разряд 1: 12 + 12 = 102; 0 остается в разряде 1, 1 переносится в разряд 2;
б) разряд 2: 02 + 12 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в разряд 3;
в) разряд 3: 12 + 02 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;
г) разряд 4: 12 + 12 + 12 = 112, где третья 12 – единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в разряд 5;
д) разряд 5: 12 + 12 = 102; где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в разряд 6.
Таким образом: 1 1 0 12 +1 1 0 1 12 = 10 1 0 0 02.
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и суммы (см. Перевод целых чисел):
11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13;
110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;
1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20 = 32 + 8 = 40.
Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.
Таблица сложения некоторых шестнадцатеричных чисел имеет вид (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
E
F
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
5
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
10
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
20
Пример 2. Сложить шестнадцатеричные числа 1С и 7В.
Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
2
1
слагаемые:
1
С
7
В
Процесс образования результата по разрядам с использованием приведенной таблицы описан ниже :
а) разряд 1: С16 + В16 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;
б) разряд 2: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116 – единица переноса.
Таким образом: 1 С16 + 7 В16 = 9 716.
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата (см. Перевод целых чисел):
1С16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28;
7В16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123;
9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151.
Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.
Правила вычитания
При вычитании используются таблицы сложения, приведенные ранее.
Пример 3. Вычесть из двоичного числа 101 двоичное число 11.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке “уменьшаемое – вычитаемое” и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
3
2
1
уменьшаемое:
1
0
1
вычитаемое:
1
1
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
а) разряд 1: 12 – 12 = 02;
б) разряд 2: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 результата рассчитывается как 102 – 12 = 12;
в) разряд 3: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде 3 остался 0.
Таким образом: 1 0 12 - 1 12 = 1 02.
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По таблице (или с помощью Перевод целых чисел)имеем:
1012 = 5; 112 = 3; 102 = 2.
Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.
Пример 4. Вычесть из шестнадцатеричного числа 97 шестнадцатеричное число 7В.
Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке “уменьшаемое – вычитаемое” и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
2
1
уменьшаемое:
9
7
вычитаемое:
7
В
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
а) разряд 1: поскольку 716 < В16 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 – В16 = С16;
б) разряд 2: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 результата рассчитывается как 816 – 716 = 116.
Таким образом: 9 716 - 7 В16 = 1 С16.
Для проверки результата используем данные из примера 2.
Таким образом, вычитание выполнено верно.
Правила умножения
Таблица умножения двоичных цифр приведена ниже (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):
0
1
0
0
0
1
0
1
Пример 5. Перемножить двоичные числа 101 и 11.
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
3
2
1
сомножители:
1
0
1
1
1
Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:
а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12 = 1012;
б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 12 = 1012 ;
в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов:
слагаемые:
1
0
1
1
0
1
сумма:
1
1
1
1
Для проверки результата найдем полные значения сомножителей и произведения (см. таблицу):
1012 = 5; 112 = 3; 11112 = 15.
Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.
Пример 6. Перемножить шестнадцатеричные числа 1С и 7В.
Используем таблицу умножения шестнадцатеричных чисел (обозначения строк и столбцов соответствуют слагаемым):
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
2
0
2
4
6
8
A
C
E
10
12
14
16
18
1A
1C
1E
3
0
3
6
9
C
F
12
15
18
1B
1E
21
24
27
2A
2D
4
0
4
8
C
10
14
18
1C
20
24
28
2C
30
34
38
3C
5
0
5
A
F
14
19
1E
23
28
2D
32
37
3C
41
46
4B
6
0
6
C
12
18
1E
24
2A
30
36
3C
42
48
4E
54
5A
7
0
7
E
15
1C
23
2A
31
38
3F
46
4D
54
5B
62
69
8
0
8
10
18
20
28
30
38
40
48
50
58
60
68
70
78
9
0
9
12
1B
24
2D
36
3F
48
51
5A
63
6C
75
7E
87
A
0
A
14
1E
28
32
3C
46
50
5A
64
6E
78
82
8C
96
B
0
B
16
21
2C
37
42
4D
58
63
6E
79
84
8F
9A
100
C
0
C
18
24
30
3C
48
54
60
6C
78
84
90
9C
108
114
D
0
D
1A
27
34
41
4E
5B
68
75
82
8F
9C
109
116
123
E
0
E
1C
2A
38
46
54
62
70
7E
8C
9A
108
116
124
132
F
0
F
1E
2D
3C
4B
5A
69
78
87
96
100
114
123
132
141
Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
номера разрядов:
2
1
сомножители:
1
С
7
В
Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (для простоты записи у чисел не показан атрибут шестнадцатеричной системы счисления):
а) умножение на разряд 1 дает результат:
1С*В = (10+C) * B = 10*B+C*B = (1*B)*10+C*B = B0+84 = 134;
б) умножение на разряд 2 дает результат:
1С*70 = (10+C)*7*10 = 10*7*10+C*7*10 = 700+540 = С40;
в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов:
134+ С40 = D74.
Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 2 и правилами формирования полного значения числа:
1С16 = 28; 7В16 = 123;
D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.
Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.
Источник: http://www.klgtu.ru/students/literature/inf_asu/1780.html