Системы счисления
Для удобства последующего преобразования дискретный сигнал подвергается кодированию. Большинство кодов основано на системах счисления, причем использующих позиционный принцип образования числа, при котором значение каждой цифры зависит от ее положения в числе.
Величина числа может зависеть от порядка цифр в записи, а может и не зависеть. Это свойство определяется системой счисления и служит основанием для простейшей классификации таких систем, что позволяет все системы счисления разделить на три класса (группы):
- позиционные;
- непозиционные;
- смешанные.
Позиционные системы счисления подробно рассмотрены ниже, после краткого обзора смешанных и непозиционных систем.
Денежные знаки — это пример смешанной системы счисления.
Сейчас в России используются монеты и купюры следующих номиналов: по 1, 5, 10, 50 копеек и по 1, 2, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000 рублей. Чтобы получить некоторую сумму в рублях, нужно использовать некоторое количество денежных знаков различного достоинства.
Предположим, что пылесос стоит 6379 рублей. Для покупки можно использовать шесть купюр по тысяче рублей, три купюры по сто рублей, одну пятидесятирублёвую купюру, две десятки, одну пятирублёвую монету и две монеты по два рубля. Если записать количество купюр или монет начиная с 1000 руб. и заканчивая одной копейкой, заменяя нулями неиспользуемые номиналы, то получится число 603121200000.
Если перемешать цифры в числе 603121200000, оно представит ложную цену пылесоса. Следовательно, такая запись относится к позиционным системам.
В непозиционных системах счисления величина числа не зависит от положения цифр в записи. Если к каждой цифре приписать знак номинала, то такие составные знаки (цифра + номинал) уже можно перемешивать, то есть такая запись является непозиционной.
Примером позиционной формы записи чисел является та, которой мы пользуемся (так называемая арабская форма чисел). Так, в числах 123 и 321 значения цифры 3, например, определяются ее положением в числе: в первом случае она обозначает три единицы (т.е. просто три), а во втором – три сотни (т.е. триста).
Тогда полное число получается по формуле:
где l – количество разрядов числа, уменьшенное на 1,
i – порядок разряда,
m – основание системы счисления,
ai – множитель, принимающий любые целочисленные значения от 0 до m-1, и соответствующий цифре i-го порядка числа.
Например, для десятичного (m = 10) числа 345 его полное значение рассчитывается по формуле:
3*102 + 4*101 + 5*100 = 345.
Римские числа являются примером полупозиционной системы образования числа: так, в числах IX и XI знак I обозначает в обоих случаях единицу (признак непозиционной системы), но, будучи расположенным слева от знака X (обозначающего десять), вычитается из десяти, а при расположении справа – прибавляется к десяти. В первом случае полное значение числа равно 9, во втором – 11.
В современной информатике используются в основном три системы счисления (все – позиционные): двоичная, шестнадцатеричная и десятичная.
Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.
Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOS. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F.
Десятичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя). Используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9.
Соответствие между первыми несколькими натуральными числами всех трех систем счисления представлено в таблице перевода:
Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты:
- для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В либо b (binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа. Например, 1010002 = 101000b = 101000B = 101000B = 101000b;
- для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак H или h справа от числа. Например, 3AB16 = 3ABH = 3ABh = 3ABH = 3ABh.
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.
Источник: http://www.klgtu.ru/students/literature/inf_asu/1740.html