\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\inputencoding{utf8}
 
\begin{document}
{\bf Аддитивно-мультипликативное дискретное блуждание в случайной среде}
(О.~Ю.~Богоявленская, ПетрГУ, Петрозаводск.) 

В работе проведен анализ
случайного блуждания, совершаемого некоторой частицей на множестве целых чисел
$A=\lbrace 2,\dots, I\rbrace,$ когда из точки $i\in A$ переход может 
быть
совершен в точки $i+1$ или $\lfloor i/2\rfloor.$ Направление перехода
определяется по результатам серии испытаний, каждое из которых имеет два
возможных исхода $e^+$ и $e^-.$ При наступлении события $e^+$ текущая
координата $i$ увеличивается на величину $1/i,$ в противном случае
$i=\lfloor i/2\rfloor.$ Все расчеты ведутся в целочисленной арифметике и
переход происходит только при изменении целой части координаты частицы. На
границах множества $A$ частица может совершить переход во внутреннюю область
множества или остаться на границе. 

Пусть $p_k$ вероятность того, что произошло последовательно
$k$ событий $e^+$ при условии $i=k$ и $q_k$
вероятность того, что произошла произвольная последовательность событий $e^+$
и $e^-$ при том же условии. Параметры $p_k$ и $q_k$ позволяют учитывать влияние
случайной среды на положение частицы, когда вероятности исхода испытаний,
определяющих направление перехода, зависят от текущей координаты $i.$ 

Обозначим $i(t)$ целочисленное значение $i$ в момент времени $t$ и $\lbrace
\tau_k\rbrace$ последовательность моментов времени, в которые изменяется
значение $i(t).$ Тогда $\lbrace i(t)\rbrace_{t>0}$ является полумарковским
случайным процессом со вложенной марковской цепью $\lbrace
i_k=i(\tau_k)\rbrace.$ Последняя является конечной неприводимой и
апериодической и ее стационарное распределение удовлетворяет следующим
уравнениям Колмогорова.   

\begin{eqnarray}\label{solved1}
&\displaystyle\pi_k=p_{k-1}\pi_{k-1}+q_{2k}\pi_{2i}+q_{2k+1}\pi_{
2i+1},\qquad  2k\leq I,
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\label{solved-scnd}
&\displaystyle\pi_k=p_{k-1}\pi_{k-1},\qquad  I<2k<2I,
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\label{solved2}
\pi_{I}=p_{I-1}\pi_{I-1}+p_{I}\pi_{I}.
\end{eqnarray}

Нами найдено решение системы (\ref{solved1}) --- (\ref{solved2}) в
аналитической рекуррентной форме, а также доказаны теоремы об условиях
существования и о виде стационарного распределения случайного процесса
$\lbrace i(t)\rbrace_{t>0}.$ Для нахождения последнего нами также получены
математические ожидания $\eta_i={\bf E}[\tau_{k+1}-\tau_k|i(\tau_k)=i].$

Случайное блуждание, описанное в работе, может служить вероятностной моделью
характеристик алгоритмов распределенного управления потоками данных и
сетевыми ресурсами в современных сетях передачи даных.  
\end{document}