\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%	{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

  \parbox{8cm} {

    \renewcommand{\baselinestretch}{1}

    \normalsize

    Выполнил:\\Рокки Ю.~Э. группа 22101\# \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
    \rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

  }
 
\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2026
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}
\label{sec:description}

В рамках учебной практики «Компьютерные технологии в математике» выполнить два задания, направленные на освоение системы вёрстки \LaTeX и средств научной визуализации.

\textbf{Задание 2} требует подготовить документ, содержащий математический текст с автоматической нумерацией формул, рубрикацией (разделы, подразделы) и оформлением новых окружений – теорем, лемм, определений, замечаний. В качестве содержательной основы взят материал пунктов 20.2–20.3 классического курса математического анализа: равномерное стремление к нулю, представление приращения функции с непрерывными частными производными, дифференцируемость функции многих переменных, полный дифференциал и правило дифференцирования сложной функции. Все формулы должны нумероваться автоматически (\eqref{20.17} и т.д.), а ссылки на них – работать корректно. Требуется продемонстрировать умение создавать собственные команды и окружения (определения, теоремы, замечания) с автоматической нумерацией внутри разделов.

\textbf{Задание 3} заключается в построении кривой в декартовых координатах с помощью интерпретатора команд \texttt{gnuplot} и последующей вставке полученного изображения в документ, созданный при выполнении задания 2. При этом необходимо использовать плавающие окружения (\texttt{figure}) для графика, добавить подпись и ссылку на рисунок в тексте. В отчёте приводится пример скрипта на \texttt{gnuplot} для функции \(y = \frac{\sin x}{x}\) на интервале \([-10,10]\), демонстрируется результат визуализации и объясняются параметры вставки.

Оба задания выполнены в среде \LaTeX\ с использованием кодировки UTF-8, пакетов \texttt{amsmath}, \texttt{amsthm}, \texttt{graphicx} и др. Оформление отчёта соответствует требованиям (поля, шрифты, нумерация разделов, список литературы). Титульный лист оформлен по правилам ИМиТ ПетрГУ. Исходные тексты и итоговый PDF-файл размещены на сервере в каталоге
\texttt{/home/04/olbgvl/public\_html/distant-learning/Spring2025} с именем \texttt{Фамилия\_НомерГруппы.tex} и \texttt{.pdf}.

\newpage

\section{Результаты работы}
\label{sec:results}

\subsection{Задание 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных}
\label{subsec:task2}

В этом подразделе приведены основные определения и теоремы из п. 20.2–20.3, касающиеся дифференцируемости функции многих переменных. Все формулы имеют автоматическую нумерацию.

\subsubsection*{Равномерное стремление к нулю}
\begin{definition}
    Пусть \(A \subseteq E^2_{xy}\), \(B \subseteq E^2_{uv}\) и функция \(f(x,y,u,v)\) определена для \((x,y)\in A\), \((u,v)\in B\). Она называется \textbf{равномерно стремящейся к нулю} на \(A\) при \((u,v)\to(u_0,v_0)\), если
    \[
    \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\; \forall(x,y)\in A,\; \forall(u,v)\in B,\; 0<\sqrt{(u-u_0)^2+(v-v_0)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y,u,v)|<\varepsilon.
    \]
\end{definition}

\begin{theorem}
    \label{th:increment}
    Пусть \(z=f(x,y)\) имеет непрерывные частные производные \(f_x,f_y\) на открытом множестве \(G\subseteq E^2\). Тогда для её приращения существует представление
    \[
    \Delta z = f_x(x,y)\Delta x + f_y(x,y)\Delta y + e_1\Delta x + e_2\Delta y,
    \]
    где \(e_1,e_2\) равномерно стремятся к нулю при \(\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\to0\) на любом замкнутом ограниченном \(A\subset G\).
\end{theorem}

\subsubsection*{Дифференцируемость функции \(n\) переменных}
Пусть \(y=f(x)\), \(x=(x_1,\dots,x_n)\), определена в окрестности \(x^{(0)}\). Обозначим
\[
\rho=\sqrt{\sum_{i=1}^n\Delta x_i^2},\quad
\Delta y = f(x)-f(x^{(0)}),\quad
\Delta x_i = x_i-x_i^{(0)}.
\]

\begin{definition}
    Функция \(f\) дифференцируема в точке \(x^{(0)}\), если существуют числа \(A_1,\dots,A_n\) такие, что при \(\rho\to0\)
    \[
    \Delta y = A_1\Delta x_1 + \dots + A_n\Delta x_n + o(\rho). \tag{20.17}
    \]
    При этом \(A_i = \frac{\partial f(x^{(0)})}{\partial x_i}\).
\end{definition}

Из дифференцируемости следует приближение линейной функцией:
\[
f(x) = f(x^{(0)}) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x^{(0)})}{\partial x_i}(x_i-x_i^{(0)}) + o(\rho),\quad \rho\to0. \tag{20.18}
\]

\subsubsection*{Полный дифференциал}
Линейную часть приращения (20.17) называют \textbf{дифференциалом} функции в точке \(x\):
\[
df(x) = \frac{\partial f(x)}{\partial x_1}\Delta x_1 + \dots + \frac{\partial f(x)}{\partial x_n}\Delta x_n. \tag{20.19}
\]
Переходя к обозначениям \(dx_i = \Delta x_i\), получаем
\[
df(x) = \frac{\partial f(x)}{\partial x_1}dx_1 + \dots + \frac{\partial f(x)}{\partial x_n}dx_n. \tag{20.20}
\]
При этом \(\Delta f(x) = df(x) + o(\rho)\) при \(\rho\to0\).

\begin{remark}
    Дифференциал (20.20) является линейной формой от \(dx_i\), определённой на всём \(E^n\), в то время как (20.17) имеет смысл только в области определения функции.
\end{remark}

\subsubsection*{Дифференцирование сложной функции}
Рассмотрим суперпозицию: пусть \(x(t), y(t)\) дифференцируемы в точке \(t_0\), \(x_0=x(t_0), y_0=y(t_0)\), а \(z=f(x,y)\) дифференцируема в \((x_0,y_0)\).

\begin{theorem}[Правило цепочки]
    \label{th:chain}
    В указанных условиях сложная функция \(z=f(x(t),y(t))\) имеет производную в точке \(t_0\), и
    \[
    \frac{dz}{dt}\bigg|_{t=t_0} = \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=t_0} + \frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}\bigg|_{t=t_0}. \tag{20.21}
    \]
    В краткой форме: \(\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\).
\end{theorem}

\begin{remark}
    Формула (20.21) обобщается на случай любого числа переменных. Все приведённые выше формулы (20.17)–(20.21) нумеруются автоматически; при добавлении новых формул номера пересчитываются.
\end{remark}

\subsection{Задание 3. Построение кривой в \texttt{gnuplot}}
\label{subsec:task3}

Для выполнения задания был написан скрипт на языке \texttt{gnuplot}, строящий график функции \(y = \frac{\sin x}{x}\) на отрезке \([-10,10]\). Скрипт приведён ниже.

\begin{verbatim}
set terminal eps enhanced color
set output 'graph.eps'
set title 'График функции sin(x)/x'
set xlabel 'x'
set ylabel 'y'
set grid
set xrange [-10:10]
set yrange [-0.4:1.1]
plot sin(x)/x with lines linewidth 2 title 'f(x) = sin(x)/x'
\end{verbatim}


После выполнения скрипта создаётся файл \texttt{graph.eps}, содержащий изображение кривой. Скрипт демонстрирует основные возможности \texttt{gnuplot}: задание терминала вывода, установку диапазонов осей, настройку сетки, построение линии заданной толщины.

\end{document}
