\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\inputencoding{utf8}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{epsfig,graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xcolor}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\newtheorem{theor}{Теорема}
\newtheorem{example}{Пример}
\newtheorem{notice}{Замечание}


\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}
\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%	{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

  \parbox{8cm} {

    \renewcommand{\baselinestretch}{1}

    \normalsize

    Выполнил:\\Соколов М.А., группа №22104 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
    \rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Руководитель практики:\\
преподаватель И.В. Сосновский\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

  }
 
\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}


Учебная практика позволяет овладеть системой вёрстки \textit{LaTeX} путём набора специально выбранных фрагментов текста учебника
по матанилизу. Во время практики были получены навыки набора математических формул и символов, использования окружений для форматирования текста,
а также общих стандартов оформления страниц и текста в целом. За время работы получено обзорное предстваление о назначении различных
пакетов \textit{LaTeX}.   

Полезным также оказалось изучения программы \textit{GNUPLOT}, которая позволяет отрисовывать графики в разных форматах и автоматически
генерировать \textit{LaTeX} код для вставки графических объектов непосредственно в документ. 

\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}

\begin{center}
\item[]
  \paragraph{\S 49. Интегралы, зависящие от параметра}
\end{center}

\subparagraph{49.1. Равномерная сходимость по параметру семейства функций.} Пусть $X$ -- произвольное множество, $Y \subset R^n$,
$y_0$ -- либо точка пространства $R^n$, либо $y_0 = \infty$, причём любая окрестность $y_o$ пересекается со множеством $Y$ (т.е. $y_0$ --
конечная либо бесконечно удалённая точка прикосновения множества $Y$). Пусть, далее, функция $f(x, y)$ задана на произведении $X \times Y$,
а функция $\varphi(x)$ на множестве $X$ (рис. 187, на котором $X$ -- отрезок на оси $x$, $Y$ -- числовое множество на оси $y$, а $y_0$ --
его предельная точка).

При каждом фиксированном $y \in Y$ функция $f(x, y)$ является функцией от $x$, поэтому функцию $f$ иногда называют \textit{семейством указанных
  функций от $x$ с параметром $y$.}

\textsc{Определение 1.} Фукнции семейства $f(x, y)$ называются равномерно стремящимися на множестве на множестве $X$ к функции $\varphi(x)$
при $y \rightarrow y_0$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует такая окрестность $U(y_0)$ точки $y_0$, что для всех $x \in X$ и всех
$y \in U(y_0)\cap Y$ выполянется неравенство:

\begin{equation}
  \lvert f(x, y) - \varphi(x) \rvert < \varepsilon  \label{eq: 1}
\end{equation}

В этом случае будем писать

\begin{equation}
  f(x, y) \underset{X}{\rightrightarrows} \varphi(x),\quad y \rightarrow y_0. \label{eq: 2}
\end{equation}

Здесь, как и обычно при предельном переходе, возможны случаи $y_0 \in Y$ и $y_0 \notin Y$.

\textsc{Замечание 1.} Если имеет место равномерная сходимость (\ref{eq: 2}) и ${y_n}$ такая последовательность точек $y_n \in Y$,
$n = 1, 2, \ldots,$ что

\begin{equation}
  \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} y_n = y_0, \label{eq: 3}
\end{equation}

то последовательность функций

\begin{equation}
  f_n(x) \overset{def}{=} f(x, y_n) \label{eq: 4}
\end{equation}

равномерно стремится на множестве $X$ к функции $\varphi$ при $n \rightarrow \infty$.

Действительно, для любого $\varepsilon > 0$ в силу условия (\ref{eq: 2}) найдётся такая окрестность $U(y_0)$ точки $y_0$, что для неё
будет выполняться неравенство (\ref{eq: 1}). Согласно же условию (\ref{eq: 3}) существует такое $n_0$, что для всех $n > n_0$, будет
иметь место включение

\begin{equation}
  y_n \in U(y_0) \cap Y, \label{eq: 5}
\end{equation}

и, следовательно, для всех $x \in X$ при $n > n_0$ получим

\begin{equation*}
  \lvert f_n(x) - \varphi(x)\rvert \underset{(\ref{eq: 4})}{=} \lvert f(x, y_n) - \varphi(x)\rvert \underset{(\ref{eq: 1})}{\underset{(\ref{eq: 5})}{<}} \varepsilon
\end{equation*}

Это и означает, что

\begin{equation*}
  f_n(x) \underset{X}{\rightrightarrows} \varphi(x),\quad n \rightarrow \infty.
\end{equation*}

\textsc{Лемма 1.} \textit{Для того, чтобы имело место равномерная сходимость (\ref{eq: 2}), необходимо и достаточно, чтобы}

\begin{equation}
   \underset{y \rightarrow y_0}{lim}\  \underset{x}\sup \lvert f(x, y) - \varphi(x)\rvert = 0 \label{eq: 6}
\end{equation}

$\triangleright$\quad 1. Если выполнятеся условие (\ref{eq: 2}), то согласно определнию для любого $\epsilon > 0$ сущеествует такая
окрестность $U(y_0)$ точки $y_0$, что для всех $x \in X$ и всех $y \in U(y_0)\cap Y$ выполняется неравенство

\begin{equation*}
  \rvert f(x, y) - \varphi(x)\lvert\ < \frac{\varepsilon}{2}. 
\end{equation*}

Перейдя в этом неравенстве к верхней грани $x \in X$, получим, что для произвольно заданного $\epsilon > 0$ и всех $y \in U(y_0)\cap Y$
имеет место неравенство:

\begin{equation*}
  \underset{x \in X}{\sup} \rvert f(x, y) - \varphi(x)\lvert\ \leq \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon.
\end{equation*}

Это и означает выполнение условия (\ref{eq: 6}).

\quad 2. Если же выполнено условие (\ref{eq: 6}), то для произвольно фиксированного $\varepsilon > 0$ существует такая окрестность $U(y_0)$ точки
$y_0$, что для всех $y \in U(y_0)\cap Y$ выполняется неравенство

\begin{equation*}
  \underset{x \in X}{\sup} \rvert f(x, y) - \varphi(x)\lvert < \varepsilon, 
\end{equation*}

а следовательно, для всех $x \in X$ и всех $y \in U(y_0)\cap Y$ -- неравенство

\begin{equation*}
  \rvert f(x, y) - \varphi(x)\lvert < \varepsilon,
\end{equation*}

т.е, выполняется условие (\ref{eq: 2}). $\triangleleft$

\begin{theor}[Критерий Коши]
  Для того, чтобы имела место равномерная сходимость (\ref{eq: 2}), необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$
  существовала такая окрестность $U(y_0)$ точки $y_0$, что для всех $x \in X$ и всех $y' \in U(y_0)\cap Y$, $y'' \in U(y_0)\cap Y$
  выполнялось неравенство
  \begin{equation}
    \lvert f(x, y'') - f(x, y')\rvert < \varepsilon.   \label{eq: 7}
  \end{equation}
\end{theor}

$\triangleright$\quad 1. Если выполняется условие (\ref{eq: 2}), то для любого $\varepsilon > 0$ существует такая окрестность
$U(y_0)$ точки $y_0$, что для всех $x \in X$ и всех $y \in U(y_0)\cap Y$ выполняется неравенство

\begin{equation*}
   \rvert f(x, y) - \varphi(x)\lvert\ < \frac{\varepsilon}{2}.
\end{equation*}

Следовательно, если $x \in X$, $y' \in U(y_0)\cap Y$ и $y'' \in U(y_0)\cap Y$, то

\begin{equation*}
  \lvert f(x, y'') - f(x, y')\rvert\ \leq \lvert f(x, y'') - \varphi(x)\rvert + \lvert \varphi(x) - f(x, y')\rvert\ \leq
  \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
\end{equation*}

т.е, выполняется условие (\ref{eq: 7}).

\quad 2. Если выполняется условие (\ref{eq: 7}), то при любом фиксированном $x$ функция $f(x, y)$ переменного $y$ удовлетворяет
критерию Коши существования предела функции, и потому существует $\underset{y \rightarrow y_0}{\lim} f(x, y) = \varphi(x)$. Переходя
к пределу в неравенстве (\ref{eq: 7}) при $y \rightarrow y_0$, получим, что для любого $x \in X$ и любого $y' \in U(y_0)\cap Y$ выполняется
неравенство

\begin{equation*}
  \lvert \varphi(x) - f(x, y')\rvert\ \leq \varepsilon
\end{equation*}

что равносильно выполнению условия (\ref{eq: 2}). $\triangleleft$

\quad \textsc{Пример.} Если функция $f(x, y)$ непрерывна на конечном прямоугольнике

\begin{multline*}
  P = {(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d}, \\
  -\infty < a < b < +\infty,\quad -\infty < c < d < +\infty
\end{multline*}

то при любом $y_0 \in [c, d]$ имеем 
\begin{equation*}
  f(x, y) \underset{[a, b]}{\rightrightarrows} f(x, y_0),\quad y \rightarrow y_0.
\end{equation*}

Это сразу следует из того, что непрерывная на прямоугольнике $P$ функция является и равномерно непрерывной на нём. В самом деле
тогда для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, что как только $\rvert x - x'\lvert < \delta$, $\rvert y - y'\lvert < \delta$,
$(x, y) \in P$, $(x', y') \in P$, то

\begin{equation*}
  \rvert f(x,y) - f(x', y')\lvert\ < \varepsilon,
\end{equation*}

Откуда при $x = x'$ и $y = y_0$ получим: если $\rvert y - y_0\lvert < \delta$, то для всех $x \in [a, b]$ выполняется неравенство

\begin{equation*}
  \rvert f(x,y) - f(x, y_0)\lvert\ < \varepsilon.
\end{equation*}

\subparagraph{49.2. Свойства интегралов, зависящих от параметра.} Пусть на множестве $Y$ определены функции $\varphi$ и $\psi$,
$\varphi(y) \leq \psi(y)$, $y \in Y \subset R^n$, а на множестве $\{(x, y): \varphi(y) \leq x \leq \psi(y),\ y \in Y\}$ -- функция
$f(x, y)$.

\textsc{Определение 2.} Интегралы вида

\begin{equation}
  \Phi(y) = \int\limits_{\varphi(y)}^{ \psi(y)} f(x, y)\ dx, \label{eq: 8} 
\end{equation}

в частности, интегралы

\begin{equation}
   \Phi(y) = \int\limits_b^a f(x, y)\ dx, \label{eq: 9}
\end{equation}

называются интегралами, \textit{зависящими от параметра $y$}.

Если $y = (y_1, \ldots, y_n)$, то интеграл (\ref{eq: 8}) называют также \textit{интегралом от $n$ параметров $y = (y_1, \ldots, y_n)$}.

Подстановка $x = \varphi(y) + [\psi(y) - \varphi(y)]t$, $0 \leq t \leq 1$, сводит интеграл вида (\ref{eq: 8}) к интегралу вида (\ref{eq: 9})
(рис. 188). Это было использовано при доказательстве леммы в п. 43.1.

Рассмотрим вопросы о непрерывности интеграла , зависящего от параметра, и о его пределе при стремлении параметра к некоторому значению. Нам уже
известно (лемма из п. 49.1.) следующее утверждение.

\begin{theor}
  Пусть функции $\varphi$ и $\psi$ непрерывны на отрезке $[c, d]$, $\varphi(y) \leq \psi(y)$, $-\infty < c \leq y \leq d < +\infty$. Если
  функция f(x, y) непрерывна на множестве
  
  \begin{equation}
    E = \{(x, y): \varphi(y) \leq x \leq \psi(y),\ c \leq y \leq d\},
  \end{equation}

  то функция $\Phi(y) =  \int\limits_{\varphi(y)}^{ \psi(y)} f(x, y)\ dx$ непрерывна на отрезке [c, d].
\end{theor}

\subsection{Задание 3}

\begin{figure}[h]
  \centering
  \input{x_cube.tex}
  \caption{$x^3$}
\end{figure}

\end{document}
