\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \setcounter{page}{1} \usepackage{expl3} \usepackage{titleps, amsmath} \usepackage{graphicx} \DeclareGraphicsExtensions{.png} \newtheorem{corollary}{Следствие} \usepackage{ucs} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry} \usepackage{indentfirst} \renewcommand{\baselinestretch}{1} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \renewcommand{\baselinestretch}{1} {\large {\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\ ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\ Институт математики и информационных технологий\\ Кафедра информатики и математического обеспечения } } \end{center} \vfill \begin{center} {\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\ %\bigskip %{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\ \end{center} \bigskip \begin{flushright} \parbox{8cm} { \renewcommand{\baselinestretch}{1} \normalsize Выполнил:\ \\Самсонов И. А. группа \ 22101 \\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Руководитель практики:\\ к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\ %Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Итоговая оценка:\\ %\begin{flushright} %<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\ %\end{flushright} %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\ %\end{flushright} } \end{flushright} \vfill \begin{center} \large Петрозаводск -- 2023 \end{center} \newpage \tableofcontents \newpage \section{Описание работы} Вот и подошёл к концу курс по дисциплине LaTeX. Благодаря этому курсу, я нашел хорошую замену Microsoft Office Word в сфере работы с математическими формулами и знаками. Преподаватель Богоявленская Ольга Юрьевна, при помощи двух лабораторных работ научила нас, как именно работать с LaTeX(TeX), показала, как можно построить график, добавить изображение в документ. Также, теперь мы умеем правильно оформлять страницы, создавать окружения для теорем и определений и многое другое.\parСуть первого задания заключалась в создании маетматического текста - а именно нужно было написать один из параграфов учебника по курсу Математического анализа. На первый взгяд, задание показалось сложным. Но уже позже, изучив теорию к LaTeX по учебникам, предоставленным преподавателем и просмотрев скринкасты - уроки по работе с формулами, стало гораздо легче работать. Во время выполнения этого задания я изучил, какими командами можно написать математические символы в TeX`е. Далее, рассмотрев специальные окружения программы, я добавлял к тексту теоремы и леммы, оформленные автоматически. Благодаря командам, втроенным в TeX, стало гораздо легче оформлять нумерацию формул, встречаемых в тексте. В конце выполнения задания мною была проделана еще одна сложная часть работы - добавление колонтитулов к тексту, включение названий параграфа и глав в документ. В целом, задание было очень интересным, и, думаю, в будущем, навыки, полученные во время выполнения данной задачи, помогут правильно и легко работать с курсовыми работами.\parСуть второй задачи - вставка в документ рисунка(а именно, графика определенной функции), нарисованного с помощью интерпретатора Gnuplot. И опять, с помощью скринкастов преподавателя и различный учебников по LaTeX`у я научился рисовать график и с помощью специального окружения $begin\{figure\}$ и $end\{figure\}$ добавлять этот графиик в основной документ. Таким образом, учебная практика помогла освоить и этот этап в программировании, в работе с различными текствоыми файлами/документами.\par Исходя из всего вышесказанного, хочется сказать, что курс по дисциплине LaTeX оказался очень полезен как для математиков, так и для программистов. Да и в целом, я думаю всем студентам нужно знать хотя бы базовые навыки работы в LaTeX.\\ \parА cейчас вы увидите формулировку заданий, которые нужно было выполнять самостоятельно, а затем и результат их выполнения. \subsection{Задание 2}\par Подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. Внимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически. \subsection{Задание 3}\par С помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. \newpage \section{Результаты работы} \subsection{Задание 2} не принадлежащие этому пересечению. Возможны два случая: либо в любой окрестности точки $x$ имеются точки, не принадлежащие множеству $X$, тогда $x \in \partial X$, либо существует окрестность $U_{0}$ точки $x$, все точки которой принадлежат множеству $X$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $x$ в ее окрестности $U \cap U_{0}$, как и во всякой окрестности этой точки, имеются точки, принадлежащие пересечению $X \cap Y$, а следовательно, и множеству $Y$, и точки, не принадлежащие $X \cap Y$, a поэтому не принадлежащие и множеству $Y$ (ибо в $U_{0}$ все точки принадлежат множеству $X$). Таким образом, в окрестности $U \cap U_{0}$ имеются как точки, принадлежащие множеству $Y$, так и не принадлежащие ему. Әто означает, что $x \in \partial Y$. Итак, если $x \in \partial(X \cap Y)$, то $$ x \in \partial X \cup \partial Y $$ \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Докажем включение (9). Если $x \in \partial(X \backslash Y)$, то в любой окрестности точки $x$ содержатся как точки, принадлежащие разности $X \backslash Y$, так и не принадлежащие ей. Возможны два случая. Первый: В любой окрестности точки $x$ содержатся точки, не принадлежащие множеству $X$, тогда в любой окрестности точки $x$ имеются как точки, принадлежащие множеству $X$ (так как имеются точки из $X \backslash Y$ ), так и не принадлежащие $X$. Поэтому в этом случае $x \in \partial X$. Второй случай: у точки $x$ существует окрестность $U_{0}$, все точки которой принадлежат множеству $X$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $x$ в окрестности $U \cap U_{0}$ этой точки имеются как точки, принадлежащие разности $X \backslash Y$, а следовательно, не принадлежащие множеству $Y$, так и точки, не принадлежащие рассматриваемой разности, а поэтому принадлежащие множеству $Y$ (ибо все точки из окрестности $U_{0}$ принадлежат $X$ ). Поскольку $U \cap U_{0} \subset U$, то и в окрестности $U$ содержатся как точки, принадлежащие множеству $Y$, так и не принадлежащие ему. Это означает, что $x \in \partial Y$. Таким образом, если $x \in \partial(X \backslash Y)$, то \end{enumerate} $$ x \in \partial X \cup \partial Y \triangleleft $$ \newtheorem{lemma}{Лемма} \begin{lemma}[полуаддитивность верхней меры] Для любой конечной совокупности мнонеств $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$ имеет место неравенство \end{lemma} \begin{equation} \label{1} \mu^{*} \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \leqslant \sum_{i=1}^{m} \mu^{*} X_{i} \end{equation} Следствие. {\itОбъединение конечного числа множеств мерь нуль также имеет меру нуль.} $\triangleright$ Каковы бы ни были множества $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$, для любого ранга $k=0,1,2, \ldots$ справедливо равенство $$ S_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\bigcup_{i=1}^{m} S_{k}\left(X_{i}\right) $$ ибо, если куб $Q$ пересекается с множеством $\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}$, то он пересекается хотя бы с одним множеством $X_{i}$, и наоборот. Поэтому \begin{equation} \label{2} \mu S_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup_{i=1}^{m} S_{k}\left(X_{i}\right) \leqslant \sum_{(10)}^{m} \mu S_{k}\left(X_{i}\right) k_{\tau}, \end{equation} $$ \mu S_{k}\left(\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup\limits_{i=1}^{m} S_{k}\left(X_{i}\right) \leqslant \sum\limits_{(10)}^{m} \mu S_{k}\left(X_{i}\right). $$ (Строгое неравенство получится в том случае, когда один и тот же куб $Q$ ранга $k$ будет входить в разные множества $S_{k}(X)$. Это заведомо будет иметь место, если среди множеств $X_{i}$, имеются пересекающиеся.) Заметив, что $$ \begin{aligned} \lim _{k \rightarrow \infty} \mu S_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right) & =\mu^{*} \bigcup_{k=1}^{m} X_{i}, \\ \lim _{k \rightarrow \infty} \mu S_{k}\left(X_{i}\right) & =\mu^{*} X_{i}, \end{aligned} $$ и перейдя в неравенстве (\ref{2}) к пределу при $k \rightarrow \infty$, получим неравенство (\ref{1}). $\triangleleft$ Докажем следствие. Если $\mu X_{i}=0$, а следовательно, и $\mu^{*} X_{i}=0$, $i=1,2, \ldots, m$, то в силу неравенства $(\ref{1})$ имеем $$ \mu^{*} \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \leqslant \sum_{i=1}^{m} \mu^{*} X_{i}=0. $$ Поэтому $\mu^{*} \bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}=0$, откуда, согласно замечанию 1 вытекает, что множество $\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}$ измеримо и его мера равна нулю. Свойcтва меры. Свойство 1 (неотрицательность меры). {\itДля любого измеримого множества $X \subset R^{n}$ всегда} $$ \mu X \geqslant 0. $$ Это сразу следует из (11) и (12). Свойтво 2 (монотонность меры). {\it Eсли $X_{1}$ и $X_{2}-$ измеримые множества и $X_{1} \subset X_{2}$, то} $$ \mu X_{1} \leqslant \mu X_{2} $$ Это сразу следует из леммы 1 и определения (12) меры измеримого множества. Свойство 3. {\itОбъединение и пересечение конечного числа измеримых множеств, а также разность двух измеримых множеств являются измеримыми множествами.} $\triangleright$ В самом деле, если множества $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$ измеримы, то они ограничены, а поэтому ограничены их объединение и пересечение; кроме того, их границы $\partial X_{i}$ имеют меру нуль (теорема 1), следовательно, и объединение $\bigcup\limits_{i=1}^{m} \partial X_{i}$ их границ имеет меру нуль (следствие леммы 4). Граница же $\partial\left(\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right)$ и $\partial\left(\bigcap\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right)$ объединения и пересечения множеств $X_{i}, i=1,2, \ldots, m$, содержатся в множестве $\bigcup\limits_{i=1}^{m} \partial X_{i}$ (лемма 3) и потому также имеют меру нуль (следствие леммы 1). Поэтому сами эти множества $\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}$ и $\bigcap\limits_{i=1}^{m} X_{i}$ являются измеримыми множествами (теорема 1). Аналогично доказывается измеримость разности измеримых множеств.$\triangleleft$ Из свойства 3 меры и леммы 4, очевидно, следует, что для любых измеримых множеств $X_{i}, i=1,2,\ldots, m$, справедливо неравенство \begin{equation} \label{3} \mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \leqslant \sum_{i=1}^{m} \mu X_{i} \end{equation} Свойство 4 (конечная аддитивность меры). {\itМера объдинения конечного числа попарно непересекающихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств.} $\triangleright$ Пусть $X_{i}-$ измеримые множества $(i=1,2, \ldots, m)$ и \begin{equation} \label{4} X_{i} \cap X_{j}=\varnothing, \quad i \neq j, \quad i, j=1,2, \ldots, m \text{. } \end{equation} Докажем, что \begin{equation} \label{5} \mu\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{m} \mu X_{i} \end{equation} Мы уже имеем неравенство (\ref{3}), даже без предположения о выполнении условия $(\ref{4})$. Докажем противоположное неравенство. Если куб ранга $k$ содержится в некотором множестве $X$, а следовательно, в $s_{k}\left(X_{i}\right)$, то он содержится и в объединении $\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}$, а следовательно, в $s_{k}\left(\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right), {\text {поэтому}}$ \begin{equation} \label{6} \bigcup_{i=1}^{m} s_{k}\left(X_{i}\right) \subset s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right) \end{equation} откуда \begin{equation} \label{7} \mu \bigcup_{i=1}^{m} s_{k}\left(X_{i}\right) \underset{(11)}{\leqslant} \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right). \end{equation} Поскольку множества $X_{i}$ не пересекаются, то не пересекаются и множества $s_{k}\left(X_{i}\right) \subset X_{i}$. В силу этого имеет место равенство \begin{equation} \label{8} \mu \bigcup_{i=1}^{m} s_{k}\left(X_{i}\right)=\underset{(11)}{=} \sum_{i=1}^{m} \mu s_{k}\left(X_{i}\right) \text {. } \end{equation} \newpage \subsection{Задание 3} А вот и график, сделанный при помощи интерпретатора Gnuplot: \begin{figure}[h] \centering\includegraphics[scale=0.8]{texatan.png} \caption{Название изображения} \end{figure} \end{document}