\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\setcounter{page}{1}
\usepackage{expl3}
\usepackage{titleps, amsmath}

\usepackage{graphicx} 
\DeclareGraphicsExtensions{.png} 

\newtheorem{corollary}{Следствие}


\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

\parbox{8cm} {

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\normalsize

Выполнил:\ \\Самсонов И. А. группа \ 22101 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}
Вот и подошёл к концу курс по дисциплине LaTeX. Благодаря этому курсу, я нашел хорошую замену Microsoft Office Word в сфере работы с математическими формулами и знаками. Преподаватель Богоявленская Ольга Юрьевна, при помощи двух лабораторных работ научила нас, как именно работать с LaTeX(TeX), показала, как можно построить график, добавить изображение в документ. Также, теперь мы умеем правильно оформлять страницы, создавать окружения для теорем и определений и многое другое.\parСуть первого задания заключалась в создании маетматического текста - а именно нужно было написать один из параграфов учебника по курсу Математического анализа. На первый взгяд, задание показалось сложным. Но уже позже, изучив теорию к LaTeX по учебникам, предоставленным преподавателем и просмотрев скринкасты - уроки по работе с формулами, стало гораздо легче работать. Во время выполнения этого задания я изучил, какими командами можно написать математические символы в TeX`е. Далее, рассмотрев специальные окружения программы, я добавлял к тексту теоремы и леммы, оформленные автоматически. Благодаря командам, втроенным в TeX, стало гораздо легче оформлять нумерацию формул, встречаемых в тексте. В конце выполнения задания мною была проделана еще одна сложная часть работы - добавление колонтитулов к тексту, включение названий параграфа и глав в документ. В целом, задание было очень интересным, и, думаю, в будущем, навыки, полученные во время выполнения данной задачи, помогут правильно и легко работать с курсовыми работами.\parСуть второй задачи - вставка в документ рисунка(а именно, графика определенной функции), нарисованного с помощью интерпретатора Gnuplot. И опять, с помощью скринкастов преподавателя и различный учебников по LaTeX`у я научился рисовать график и с помощью специального окружения $begin\{figure\}$ и $end\{figure\}$ добавлять этот графиик в основной документ. Таким образом, учебная практика помогла освоить и этот этап в программировании, в работе с различными текствоыми файлами/документами.\par Исходя из всего вышесказанного, хочется сказать, что курс по дисциплине LaTeX оказался очень полезен как для математиков, так и для программистов. Да и в целом, я думаю всем студентам нужно знать хотя бы базовые навыки работы в LaTeX.\\
\parА cейчас вы увидите формулировку заданий, которые нужно было выполнять самостоятельно, а затем и результат их выполнения.

\subsection{Задание 2}\par Подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. Внимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически.

\subsection{Задание 3}\par С помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.

\newpage
\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}
не принадлежащие этому пересечению. Возможны два случая: либо в любой окрестности точки $x$ имеются точки, не принадлежащие множеству $X$, тогда $x \in \partial X$, либо существует окрестность $U_{0}$ точки $x$, все точки которой принадлежат множеству $X$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $x$ в ее окрестности $U \cap U_{0}$, как и во всякой окрестности этой точки, имеются точки, принадлежащие пересечению $X \cap Y$, а следовательно, и множеству $Y$, и точки, не принадлежащие $X \cap Y$, a поэтому не принадлежащие и множеству $Y$ (ибо в $U_{0}$ все точки принадлежат множеству $X$). Таким образом, в окрестности $U \cap U_{0}$
имеются как точки, принадлежащие множеству $Y$, так и не принадлежащие ему. Әто означает, что $x \in \partial Y$. Итак, если $x \in \partial(X \cap Y)$, то
$$
x \in \partial X \cup \partial Y
$$

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Докажем включение (9). Если $x \in \partial(X \backslash Y)$, то в любой окрестности точки $x$ содержатся как точки, принадлежащие разности $X \backslash Y$, так и не принадлежащие ей. Возможны два случая. Первый: В любой окрестности точки $x$ содержатся точки, не принадлежащие множеству $X$, тогда в любой окрестности точки $x$ имеются как точки, принадлежащие множеству $X$ (так как имеются точки из $X \backslash Y$ ), так и не принадлежащие $X$. Поэтому в этом случае $x \in \partial X$. Второй случай: у точки $x$ существует окрестность $U_{0}$, все точки которой принадлежат множеству $X$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $x$ в окрестности $U \cap U_{0}$ этой точки имеются как точки, принадлежащие разности $X \backslash Y$, а следовательно, не принадлежащие множеству $Y$, так и точки, не принадлежащие рассматриваемой разности, а поэтому принадлежащие множеству $Y$ (ибо все точки из окрестности $U_{0}$ принадлежат $X$ ). Поскольку $U \cap U_{0} \subset U$, то и в окрестности $U$ содержатся как точки, принадлежащие множеству $Y$, так и не принадлежащие ему. Это означает, что $x \in \partial Y$. Таким образом, если $x \in \partial(X \backslash Y)$, то
\end{enumerate}
$$
x \in \partial X \cup \partial Y  \triangleleft
$$

\newtheorem{lemma}{Лемма}

\begin{lemma}[полуаддитивность верхней меры]
   Для любой конечной совокупности мнонеств $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$ имеет место неравенство
\end{lemma}

\begin{equation}
  \label{1}
 \mu^{*} \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \leqslant \sum_{i=1}^{m} \mu^{*} X_{i}
\end{equation}

Следствие. {\itОбъединение конечного числа множеств мерь нуль также имеет меру нуль.}

$\triangleright$ Каковы бы ни были множества $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$, для любого ранга $k=0,1,2, \ldots$ справедливо равенство

$$
S_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\bigcup_{i=1}^{m} S_{k}\left(X_{i}\right)
$$

ибо, если куб $Q$ пересекается с множеством $\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}$, то он пересекается хотя бы с одним множеством $X_{i}$, и наоборот. Поэтому

\begin{equation}
  \label{2}
 \mu S_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup_{i=1}^{m} S_{k}\left(X_{i}\right) \leqslant \sum_{(10)}^{m} \mu S_{k}\left(X_{i}\right)  k_{\tau},
\end{equation}

$$
\mu S_{k}\left(\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup\limits_{i=1}^{m} S_{k}\left(X_{i}\right) \leqslant \sum\limits_{(10)}^{m} \mu S_{k}\left(X_{i}\right).
$$

(Строгое неравенство получится в том случае, когда один и тот же куб $Q$ ранга $k$ будет входить в разные множества $S_{k}(X)$. Это заведомо будет иметь место, если среди множеств $X_{i}$, имеются пересекающиеся.)
Заметив, что

$$
\begin{aligned}
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu S_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right) & =\mu^{*} \bigcup_{k=1}^{m} X_{i}, \\
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu S_{k}\left(X_{i}\right) & =\mu^{*} X_{i},
\end{aligned}
$$

и перейдя в неравенстве (\ref{2}) к пределу при $k \rightarrow \infty$, получим неравенство (\ref{1}). $\triangleleft$

Докажем следствие. Если $\mu X_{i}=0$, а следовательно, и $\mu^{*} X_{i}=0$, $i=1,2, \ldots, m$, то в силу неравенства $(\ref{1})$ имеем

$$
\mu^{*} \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \leqslant \sum_{i=1}^{m} \mu^{*} X_{i}=0.
$$

Поэтому $\mu^{*} \bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}=0$, откуда, согласно замечанию 1 вытекает, что множество $\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}$ измеримо и его мера равна нулю.

Свойcтва меры.

Свойство 1 (неотрицательность меры). {\itДля любого измеримого множества $X \subset R^{n}$ всегда}

$$
\mu X \geqslant 0.
$$

Это сразу следует из (11) и (12).

Свойтво 2 (монотонность меры). {\it Eсли $X_{1}$ и $X_{2}-$ измеримые множества и $X_{1} \subset X_{2}$, то}

$$
\mu X_{1} \leqslant \mu X_{2}
$$

Это сразу следует из леммы 1 и определения (12) меры измеримого множества.

Свойство 3. {\itОбъединение и пересечение конечного числа измеримых множеств, а также разность двух измеримых множеств являются измеримыми множествами.}

$\triangleright$ В самом деле, если множества $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}$ измеримы, то они ограничены, а поэтому ограничены их объединение и пересечение; кроме того, их границы $\partial X_{i}$ имеют меру нуль (теорема 1), следовательно, и объединение $\bigcup\limits_{i=1}^{m} \partial X_{i}$ их границ имеет меру нуль (следствие леммы 4). Граница же $\partial\left(\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right)$ и $\partial\left(\bigcap\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right)$ объединения и пересечения множеств $X_{i}, i=1,2, \ldots, m$, содержатся в множестве $\bigcup\limits_{i=1}^{m} \partial X_{i}$ (лемма 3) и потому также имеют меру нуль (следствие леммы 1). Поэтому сами эти множества $\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}$ и $\bigcap\limits_{i=1}^{m} X_{i}$ являются измеримыми множествами (теорема 1).
Аналогично доказывается измеримость разности измеримых множеств.$\triangleleft$
Из свойства 3 меры и леммы 4, очевидно, следует, что для любых измеримых множеств $X_{i}, i=1,2,\ldots, m$, справедливо неравенство

\begin{equation}
  \label{3}
    \mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \leqslant \sum_{i=1}^{m} \mu X_{i}
\end{equation}

Свойство 4 (конечная аддитивность меры). {\itМера объдинения конечного числа попарно непересекающихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств.}

$\triangleright$ Пусть $X_{i}-$ измеримые множества $(i=1,2, \ldots, m)$ и

\begin{equation}
  \label{4}
X_{i} \cap X_{j}=\varnothing, \quad i \neq j, \quad i, j=1,2, \ldots, m \text{. }
\end{equation}

Докажем, что

\begin{equation}
  \label{5}
\mu\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{m} \mu X_{i}
\end{equation}

Мы уже имеем неравенство (\ref{3}), даже без предположения о выполнении 
условия $(\ref{4})$. Докажем противоположное неравенство. Если куб ранга $k$
содержится в некотором множестве $X$, а следовательно, в 
$s_{k}\left(X_{i}\right)$, то он содержится и в объединении $\bigcup\limits_{i=1}^{m} 
X_{i}$, а следовательно, в $s_{k}\left(\bigcup\limits_{i=1}^{m} X_{i}\right), 
{\text {поэтому}}$


\begin{equation}
  \label{6}
\bigcup_{i=1}^{m} s_{k}\left(X_{i}\right) \subset s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)
\end{equation}

откуда

\begin{equation}
  \label{7}
\mu \bigcup_{i=1}^{m} s_{k}\left(X_{i}\right) \underset{(11)}{\leqslant} \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right).
\end{equation}


Поскольку множества $X_{i}$ не пересекаются, то не пересекаются и множества $s_{k}\left(X_{i}\right) \subset X_{i}$. В силу этого имеет место равенство


\begin{equation}
  \label{8}
\mu \bigcup_{i=1}^{m} s_{k}\left(X_{i}\right)=\underset{(11)}{=} \sum_{i=1}^{m} \mu s_{k}\left(X_{i}\right) \text {. }
\end{equation}


\newpage
\subsection{Задание 3}
А вот и график, сделанный при помощи интерпретатора Gnuplot:

\begin{figure}[h] 
\centering\includegraphics[scale=0.8]{texatan.png}
\caption{Название изображения}
\end{figure}

\end{document}
