\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \setcounter{page}{1} \usepackage{expl3} \usepackage{titleps, amsmath} \usepackage{graphicx} % Пакет для добавления изображений \DeclareGraphicsExtensions{.png} % Форматы изображений \newtheorem{corollary}{Следствие} \usepackage{ucs} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry} \usepackage{indentfirst} \renewcommand{\baselinestretch}{1} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \renewcommand{\baselinestretch}{1} {\large {\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\ ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\ Институт математики и информационных технологий\\ Кафедра информатики и математического обеспечения } } \end{center} \vfill \begin{center} {\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\ %\bigskip %{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\ \end{center} \bigskip \begin{flushright} \parbox{8cm} { \renewcommand{\baselinestretch}{1} \normalsize Выполнил:\ \\Певтулиди К.Г. группа \ 22101 \\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Руководитель практики:\\ к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\ %Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Готовая оценка:\\ %\begin{flushright} %<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\ %\end{flushright} %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\ %\end{flushright} } \end{flushright} \vfill \begin{center} \large Петрозаводск -- 2023 \end{center} \newpage \tableofcontents \newpage \section{Описание работы} В задании №2 подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. Переписать страницы с готового документа, пользуясь оформлением Latex. Оформить новые окружения (теоремы, леммы). Пронумеровать формулы в автоматическом режиме. Сделать ссылки на нумерованные формулы. Научится оформлять колонтитулы. \par В задании №3 изучить команды интерпретатора gnuplot. Затем с помощью интерпретатора команд gnuplot(- программа для создания двух- или трехмерных графиков) построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания №2. \subsection{Задание 2} \parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2) \parСкринкаст о наборе математических формул. \parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах. \parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд. \parВнимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически. \subsection{Задание 3} \parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. \parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй . \parПлавающие объекты Скринкаст \section{Результаты работы} \subsection{Задание 2} Перепечатал страницы документа, содержащего математический текст. Оформил новые окружения (колонтитулы, следствия, нумерация формул). Пронумеровал формулы в автоматическом режиме и сделал на них ссылки. Ниже приведен результат работы \newpage \textbf{6.7. Свойства пределов функций.} В пп. $6.7-6.12$ все рассматриваемые функции определены на некотором фиксированном множестве $X \subset R$ и $x_{0}-$ его точка прикосновения, коне\ чная или бесконечно удаленная. Функция называется \textit{ограниченной} (сверху или снизу), если множество ее значений ограничено (соответственно сверху или снизу). $1^{\circ}$. \textit{Если функция} $f$ \textit{имеет в точке} $x_{0}$ \textit{конечный предел, то существует такая окрестность} $U\left(x_{0}\right)$ \textit{точки} $x_{0}$, \textit{что фу\ нкция} $f$ \textit{ограничена на пересечении} $X \cap U\left(x_{0}\right)$. $\triangleright$ Если $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=a \in R$, то существует такая окрестность $U\left(x_{0}\right)$ точки $x_{0}$, что для всех $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ выпол\ няется включение $f(x) \in$ $\in U(a, 1)$ (здесь в качестве окрестности $U(a)$ в определении 6 взята окрестность $U(a, 1))$, т.е. неравенство $a-10$, \textit{что для всех точек} $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ \textit{выполняются неравенства} \begin{equation} f(x)>c, \quad \text {если} \quad a>0; \\ f(x)<-c, \quad \text{если}\quad a<0. \label{eq:1} \end{equation} $\triangleright$ Поскольку $a \neq 0$, то $\frac{|a|}{2}>0$. Возьмем в качестве окрестности $U(a)$ в определении 6 окрестность $U\left(a, \frac{|a|}{2}\right)$. Тогда согласно этому опреде\ лению существует такая окрестность $U\left(x_{0}\right)$ точки $x_{0}$, что для всех точек $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ выполняется включение $f(x) \in U\left(a, \frac{|a|}{2}\right)\ $, т. е. справедливо неравенство $$ a-\frac{|a|}{2}0$ $$ f(x)>a-\frac{|a|}{2}=\frac{a}{2}>0 $$ \noindentа при $a<0$ $$ f(x)0$, \textit{что для всех} $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ \textit{выполняются неравенства:} $$ \begin{gathered} f(x)>c, \quad \text {если} \quad f\left(x_{0}\right)>0 ; \\ f(x)<-c, \quad \text {если} \quad f\left(x_{0}\right)<0. \end{gathered} $$ Это сразу вытекает из свойства $2^{\circ}$, поскольку непрерывность в точке $x_{0}$ означает существование у функции $f$ в точке $x_{0}$ конечного предела, равного $f\left(x_{0}\right)$. В\ качестве $c$ можно взять $\frac{\left|f\left(x_{0}\right)\right|}{2}$. 3 а м е ч а н и е. Если у функции $f$ в точке $x_{0}$ существует один из бесконечных пределов $\infty,+\infty$ и $-\infty$, то для л ю б о г о числа $c>0$ существует такая окрестность $U\left(x_{0}\right)$ точки $x_{0}$, что для любой точки $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ выполняются неравенства: $$ \begin{aligned} & |f(x)|>c, \quad \text {если} \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty ; \\ & f(x)>c, \quad \text {если} \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty ; \\ & f(x)<-c, \text {если} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty \text {. } \end{aligned} $$ Это следует из определения 5 предела функции, в котором в качестве окрестности $U(a)$ бесконечно удаленной точки в этом случае следует взять окрестность $U\left(a, \frac{1}{c}\right)$. $3^{\circ}$. \textit{Если} $f(x)=c-$ \textit{постоянная,} $x \in X$, \textit{то} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=c$. Это означает, в частности, что постоянная функция является непрерывной. $4^{\circ}$. \textit{Если} $f(x) \geqslant a, x \in X$ \textit{и существует конечный или определенного знака бесконечный предел} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$, \textit{то} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant a$. $5^{\circ}$. \textit{Если} $\varphi(x) \leqslant f(x) \leqslant \psi(x), x \in X$ \textit{и сушествуют конечные или определенного знака бесконечные пределы} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \varphi(x), \lim _{x \rightarrow x_{0}} \psi(x)$ \textit {и они равны между собой, то существует} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) u$ $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \varphi(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \psi(x). $$ $6^{\circ}$. \textit{Eсли существуют конечные пределы} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ и $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$, \textit{то существуют и конечные пределы} \begin{equation} \lim _{x \rightarrow x_{0}}[\lambda f(x)+\mu g(x)]=\lambda \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)+\mu \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x),\quad \lambda \in R, \quad \mu \in R \label{eq:2} \end{equation} \begin{equation} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x), \label{eq:3} \end{equation} \textit{а если} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \neq 0$, \textit{то и} \begin{equation} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)}. \label{4} \end{equation} \newpage В последнем случае функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ рассматривается только для тех $x$, для которых $g(x) \neq 0$ (см. свойство $2^{\circ}$ ). $\triangleright$ Утверждения $3^{\circ}-6^{\circ}$ следуют из соответствующих утверждений для пределов последовательностей (см. пп. 5.3, 5.6) Докажем, например, формулу (\ref{eq:3}). Пусть$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=a \in R, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=b \in R$. Возьмем какую-либо последовательность $x_{n} \in X, n=1,2, \ldots$, имеющую своим пределом $x_{0}$. Тогда согласно определению $1 \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=a$, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=b$, поэтому в силу свойства пределов последовательностей\ (свойство $3^{\circ}$ в П. 5.6) $$ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right) g\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right) \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=a b, $$ и поскольку последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ является произвольной последовательностью такой, что $x_{n} \rightarrow x_{0}$ и $x_{n} \in X, n=1,2, \ldots$, то согласно тому же определению 1 предела функции получим $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=a b=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x). \triangleleft $$ \textit{Если функции} $f u g$ \textit{непрерывны в точке} $x_{0} \in X$, \textit{то функции} $\lambda f(x)+\mu g(x), \lambda \in R, \mu \in R, f(x) g(x)$, \textit{а если} $g\left(x_{0}\right) \neq 0$, \textit{то и} $\frac{f(x)}{g(x)}$, \textit{непрерывны в точке} $x_{0}$. \noindent$\triangleright$ Докажем, например, непрерывность произведения $f(x) g(x)$. Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_{0}$, то в этой точке они имеют конечные пределы $f\left(x\ _{0}\right)$ и $g\left(x_{0}\right)$. Поэтому согласно формуле (\ref{eq:3}) получим $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right). $$ Это и означает непрерывность произведения $f g. \triangleleft$ Отметим, что проведенное доказательство можно было бы и не проводить, так как непрерывность функции в точке означает, что (см. п. 6.2) эта точка принадлежит множеству задания функции и что\ у функции в этой точке существует предел по указанному множеству. Поскольку функции $f$ и $g$ заданы в точке $x_{0}$, то, очевидно, и функции $\lambda f(x)+\mu g(x), f(x) g(x)$, а при $g\left(x_{0}\right) \neq 0$ и $\frac{f(x)}{g(x)}$, заданы в этой точке. В силу свойства $6^{\circ}$ у перечисленных функций существуют пределы в точке $x_{0}$, принадлежащей в данном случае \ их множеству задания, что и означает их непрерывность в точке $x_{0}$. Иначе говоря, утверждение следствия является просто частным случаем утверждения $6^{\circ}$, когда точка, в которой рассматривается предел, принадлежит области определения функций. \newpage \subsection{Задание 3} Изучил программу gnuplot, а также его команды. Построил оригинальную кривую в декартовых координатах. Сохранил график в папку с текстом из задания №2. Использовал графический пакет в преамбулу. И добавил само изображение в конце текста с помощью определенных команд графического пакета. Ниже представлена график, который вставил в документ \begin{figure}[h] % Вствка изображения \centering\includegraphics[scale=0.3]{F.png}%centering - выравнивание по середине, scale - масштабирование {} - расположение файла \caption{Название изображения} \end{figure} \end{document}