\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\setcounter{page}{1}
\usepackage{expl3}
\usepackage{titleps, amsmath}

\usepackage{graphicx} % Пакет для добавления изображений
\DeclareGraphicsExtensions{.png} % Форматы изображений

\newtheorem{corollary}{Следствие}


\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

\parbox{8cm} {

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\normalsize

Выполнил:\ \\Певтулиди К.Г. группа \ 22101 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Готовая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}
В задании №2 подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. Переписать страницы с готового документа, пользуясь оформлением Latex. Оформить новые окружения (теоремы, леммы). Пронумеровать формулы в автоматическом режиме. Сделать ссылки на нумерованные формулы. Научится оформлять колонтитулы.  \par
В задании №3 изучить команды интерпретатора gnuplot. Затем с помощью интерпретатора команд gnuplot(- программа для создания двух- или трехмерных графиков) построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания №2. 
\subsection{Задание 2}
\parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2)
\parСкринкаст о наборе математических формул.
\parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах.
\parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.
\parВнимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически.

\subsection{Задание 3}
\parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.
\parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй .
\parПлавающие объекты Скринкаст

\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}
Перепечатал страницы документа, содержащего математический текст. Оформил новые окружения (колонтитулы, следствия, нумерация формул).  Пронумеровал формулы в автоматическом режиме и сделал на них ссылки. Ниже приведен результат работы

\newpage
\textbf{6.7. Свойства пределов функций.} В пп. $6.7-6.12$ все рассматриваемые функции определены на некотором фиксированном множестве $X \subset R$ и $x_{0}-$ его точка прикосновения, коне\
чная или бесконечно удаленная.

Функция называется \textit{ограниченной} (сверху или снизу), если множество ее значений ограничено (соответственно сверху или снизу).

$1^{\circ}$. \textit{Если функция} $f$ \textit{имеет в точке} $x_{0}$ \textit{конечный предел, то существует такая окрестность} $U\left(x_{0}\right)$ \textit{точки} $x_{0}$, \textit{что фу\
нкция} $f$ \textit{ограничена на пересечении} $X \cap U\left(x_{0}\right)$.

$\triangleright$ Если $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=a \in R$, то существует такая окрестность $U\left(x_{0}\right)$ точки $x_{0}$, что для всех $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ выпол\
няется включение $f(x) \in$ $\in U(a, 1)$ (здесь в качестве окрестности $U(a)$ в определении 6 взята окрестность $U(a, 1))$, т.е. неравенство $a-1<f(x)<a+1. $ $\triangleleft$


\textit{Eсли функиия} $f$ \textit{непрерывна в точке} $x_{0}$, \textit{то существует такая окрестность} $U\left(x_{0}\right)$ \textit{точки} $x_{0}$, \textit{что функция} $f$ \textit{огран\
ичена на}


$$
X \cap U\left(x_{0}\right)
$$

Это следует из того, что если функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$, то она имеет в этой точке конечный предел. $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$

$2^{\circ}$ (лемма о сохранении знака). \textit{Если функция} $f$ \textit{имеет в точке} $x_{0}$ \textit{не равный нулю конечный предел} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=a \neq 0$, \textit{то существуют такие окрестность} $U\left(x_{0}\right)$ \textit{точки} $x_{0}$ \textit{и число с} $>0$, \textit{что для всех точек} $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ \textit{выполняются неравенства}
\begin{equation}
f(x)>c, \quad \text {если} \quad a>0; \\ f(x)<-c, \quad \text{если}\quad a<0.
\label{eq:1}
\end{equation}


$\triangleright$ Поскольку $a \neq 0$, то $\frac{|a|}{2}>0$. Возьмем в качестве окрестности $U(a)$ в определении 6 окрестность $U\left(a, \frac{|a|}{2}\right)$. Тогда согласно этому опреде\
лению существует такая окрестность $U\left(x_{0}\right)$ точки $x_{0}$, что для всех точек $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ выполняется включение $f(x) \in U\left(a, \frac{|a|}{2}\right)\
$, т. е. справедливо неравенство

$$
a-\frac{|a|}{2}<f(x)<a+\frac{|a|}{2}.
$$

\noindentОтсюда имеем при $a>0$
$$
f(x)>a-\frac{|a|}{2}=\frac{a}{2}>0
$$
\noindentа при $a<0$
$$
f(x)<a+\frac{|a|}{2}=-|a|+\frac{|a|}{2}=-\frac{|a|}{2}<0.
$$

Таким образом, неравенства (\ref{eq:1}) выполняются при $c=\frac{|a|}{2} \cdot \triangleleft$
\newpage
\begin{corollary}
\textit{Если функция} $f$ \textit{непрерывна в точке} $x_{0}$ \textit{и} $f\left(x_{0}\right) \neq 0$, \textit{то существуют такие окрестность} $U\left(x_{0}\right)$ \textit{точки} $x_{0}$\
 \textit{и постоянная} $c>0$, \textit{что для всех} $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ \textit{выполняются неравенства:}


$$
\begin{gathered}
f(x)>c, \quad \text {если} \quad f\left(x_{0}\right)>0 ; \\
f(x)<-c, \quad \text {если} \quad f\left(x_{0}\right)<0.
\end{gathered}
$$

Это сразу вытекает из свойства $2^{\circ}$, поскольку непрерывность в точке $x_{0}$ означает существование у функции $f$ в точке $x_{0}$ конечного предела, равного $f\left(x_{0}\right)$. В\
 качестве $c$ можно взять $\frac{\left|f\left(x_{0}\right)\right|}{2}$.

3 а м е ч а н и е. Если у функции $f$ в точке $x_{0}$ существует один из бесконечных пределов $\infty,+\infty$ и $-\infty$, то для л ю б о г о числа $c>0$ существует такая окрестность $U\left(x_{0}\right)$ точки $x_{0}$, что для любой точки $x \in X \cap U\left(x_{0}\right)$ выполняются неравенства:

$$
\begin{aligned}
& |f(x)|>c, \quad \text {если} \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty ; \\
& f(x)>c, \quad \text {если} \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=+\infty ; \\
& f(x)<-c, \text {если} \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=-\infty \text {. }
\end{aligned}
$$

Это следует из определения 5 предела функции, в котором в качестве окрестности $U(a)$ бесконечно удаленной точки в этом случае следует взять окрестность $U\left(a, \frac{1}{c}\right)$.

$3^{\circ}$. \textit{Если} $f(x)=c-$ \textit{постоянная,} $x \in X$, \textit{то} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=c$.

Это означает, в частности, что постоянная функция является непрерывной.

$4^{\circ}$. \textit{Если} $f(x) \geqslant a, x \in X$ \textit{и существует конечный или определенного знака бесконечный предел} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$, \textit{то} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant a$.

$5^{\circ}$. \textit{Если} $\varphi(x) \leqslant f(x) \leqslant \psi(x), x \in X$ \textit{и сушествуют конечные или определенного знака бесконечные пределы} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \varphi(x), \lim _{x \rightarrow x_{0}} \psi(x)$ \textit {и они равны между собой, то существует} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) u$
$$
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \varphi(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \psi(x).
$$

$6^{\circ}$. \textit{Eсли существуют конечные пределы} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ и $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$, \textit{то существуют и конечные пределы}


\begin{equation}
 \lim _{x \rightarrow x_{0}}[\lambda f(x)+\mu g(x)]=\lambda \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)+\mu \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x),\quad \lambda \in R, \quad \mu \in R
  \label{eq:2}
\end{equation}

\begin{equation}
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x),
\label{eq:3}
\end{equation}

\textit{а если} $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \neq 0$, \textit{то и}

\begin{equation}
\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)}.
\label{4}
\end{equation}

\newpage
В последнем случае функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ рассматривается только для тех $x$, для которых $g(x) \neq 0$ (см. свойство $2^{\circ}$ ).

$\triangleright$ Утверждения $3^{\circ}-6^{\circ}$ следуют из соответствующих утверждений для пределов последовательностей (см. пп. 5.3, 5.6) Докажем, например, формулу (\ref{eq:3}). Пусть$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=a \in R, \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=b \in R$. Возьмем какую-либо последовательность $x_{n} \in X, n=1,2, \ldots$, имеющую своим пределом $x_{0}$. Тогда согласно определению $1 \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=a$, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=b$, поэтому в силу свойства пределов последовательностей\
 (свойство $3^{\circ}$ в П. 5.6)

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right) g\left(x_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right) \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=a b,
$$

и поскольку последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ является произвольной последовательностью такой, что $x_{n} \rightarrow x_{0}$ и $x_{n} \in X, n=1,2, \ldots$, то согласно тому же определению 1 предела функции получим

$$
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=a b=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x). \triangleleft
$$

\textit{Если функции} $f u g$ \textit{непрерывны в точке} $x_{0} \in X$, \textit{то функции} $\lambda f(x)+\mu g(x), \lambda \in R, \mu \in R, f(x) g(x)$, \textit{а если} $g\left(x_{0}\right) \neq 0$, \textit{то и} $\frac{f(x)}{g(x)}$, \textit{непрерывны в точке} $x_{0}$.


\noindent$\triangleright$ Докажем, например, непрерывность произведения $f(x) g(x)$. Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_{0}$, то в этой точке они имеют конечные пределы $f\left(x\
_{0}\right)$ и $g\left(x_{0}\right)$. Поэтому согласно формуле (\ref{eq:3}) получим

$$
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right).
$$
Это и означает непрерывность произведения $f g. \triangleleft$

Отметим, что проведенное доказательство можно было бы и не проводить, так как непрерывность функции в точке означает, что (см. п. 6.2) эта точка принадлежит множеству задания функции и что\
 у функции в этой точке существует предел по указанному множеству. Поскольку функции $f$ и $g$ заданы в точке $x_{0}$, то, очевидно, и функции $\lambda f(x)+\mu g(x), f(x) g(x)$, а при $g\left(x_{0}\right) \neq 0$ и $\frac{f(x)}{g(x)}$, заданы в этой точке. В силу свойства $6^{\circ}$ у перечисленных функций существуют пределы в точке $x_{0}$, принадлежащей в данном случае \
их множеству задания, что и означает их непрерывность в точке $x_{0}$. Иначе говоря, утверждение следствия является просто частным случаем утверждения $6^{\circ}$, когда точка, в которой рассматривается предел, принадлежит области определения функций.
\newpage

\subsection{Задание 3}
Изучил программу gnuplot, а также его команды. Построил оригинальную кривую в декартовых координатах. Сохранил график в папку с текстом из задания №2. Использовал графический пакет в преамбулу. И добавил само изображение в конце текста с помощью определенных команд графического пакета. Ниже представлена график, который вставил в документ

\begin{figure}[h] % Вствка изображения
\centering\includegraphics[scale=0.3]{F.png}%centering - выравнивание по середине, scale - масштабирование {} - расположение файла
\caption{Название изображения}
\end{figure}

\end{document}
