Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ �Петрозаводский государственный университет� Институт математики и информационных технологий Кафедра информатики и математического обеспечения

Отчет по учебной практике (компьютерные технологии в математике)

Выполнил:

Певтулиди К.Г. группа 22101

Петрозаводск – 2023

подпись Руководитель практики:

к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская

подпись Готовая оценка:

оценка

Содержание

1 Описание работы 3 1.1 Задание 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Задание 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Результаты работы 3 2.1 Задание 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Задание 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Описание работы

В задании �2 подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. Переписать страницы с готового документа, пользуясь оформлением Latex. Оформить новые окружения (теоремы, леммы). Пронумеровать формулы в автоматическом режиме. Сделать ссылки на нумерованные формулы. Научится оформлять колонтитулы.

В задании �3 изучить команды интерпретатора gnuplot. Затем с помощью интерпретатора команд gnuplot(- программа для создания двух- или трехмерных графиков) построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания �2.

1.1 Задание 2

Подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2)

Скринкаст о наборе математических формул.

Скринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах.

Скринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.

Внимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически.

1.2 Задание 3

С помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.

Скринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй .

Плавающие объекты Скринкаст

2 Результаты работы

2.1 Задание 2

Перепечатал страницы документа, содержащего математический текст. Оформил новые окружения (колонтитулы, следствия, нумерация формул). Пронумеровал формулы в автоматическом режиме и сделал на них ссылки. Ниже приведен результат работы

6.7. Свойства пределов функций. В пп. 6.7 − 6.12 все рассматриваемые функции определены на некотором фиксированном множестве X ⊂ R и x_{0}− его точка прикосновения, коне чная или бесконечно удаленная.

Функция называется ограниченной (сверху или снизу), если множество ее значений ограничено (соответственно сверху или снизу).

1^{∘}. Если функция f имеет в точке x_{0} конечный предел, то существует такая окрестность U (x_{0}) точки x_{0}, что фу нкция f ограничена на пересечении X ∩ U (x_{0}).

▷ Если lim_{x→x_{0}} f(x) = a ∈ R, то существует такая окрестность U (x_{0}) точки x_{0}, что для всех x ∈ X ∩ U (x_{0}) выпол няется включение f(x) ∈ ∈ U(a, 1) (здесь в качестве окрестности U(a) в определении 6 взята окрестность U(a, 1)), т.е. неравенство a − 1 < f(x) < a + 1. ◁

Eсли функиия f непрерывна в точке x_{0}, то существует такая окрестность U (x_{0}) точки x_{0}, что функция f огран ичена на

X ∩ U (x_{0})

Это следует из того, что если функция f непрерывна в точке x_{0}, то она имеет в этой точке конечный предел. lim_{x→x_{0}} f(x)

2^{∘} (лемма о сохранении знака). Если функция f имеет в точке x_{0} не равный нулю конечный предел lim_{x→x_{0}} f(x) = a ≠ 0, то существуют такие окрестность U (x_{0}) точки x_{0} и число с > 0, что для всех точек x ∈ X ∩ U (x_{0}) выполняются неравенства

f(x) > c, если a > 0; f(x) < −c, если a < 0.  (1)

▷ Поскольку a ≠ 0, то \frac{|a|}{2} > 0. Возьмем в качестве окрестности U(a) в определении 6

окрестность U (a, \frac{|a|}{2}). Тогда согласно этому опреде лению существует такая окрестность

U (x_{0}) точки x_{0}, что для всех точек x ∈ X ∩ U (x_{0}) выполняется включение f(x) ∈ U (a, \frac{|a|}{2}) , т. е. справедливо неравенство

a − \frac{|a|}{2} < f(x) < a + \frac{|a|}{2}.

Отсюда имеем при a > 0

f(x) > a − \frac{|a|}{2} = \frac{a}{2} > 0

а при a < 0

f(x) < a + \frac{|a|}{2} = −|a| + \frac{|a|}{2} = −\frac{|a|}{2} < 0.

Таким образом, неравенства (1) выполняются при c = \frac{|a|}{2} · ◁ Р�Р�Р�Р�С�С�Р�Р�Р� 1 Если функция f непрерывна в точке x_{0} и f (x_{0}) ≠ 0, то существуют такие окрестность U (x_{0}) точки x_{0} и постоянная c > 0, что для всех x ∈ X ∩ U (x_{0}) выполняются неравенства:

f(x) > c, если f (x_{0}) > 0;
f(x) < −c, если f (x_{0}) < 0.

Это сразу вытекает из свойства 2^{∘}, поскольку непрерывность в точке x_{0} означает существование у функции f в точке x_{0} конечного предела, равного f (x_{0}). В качестве c можно взять \frac{|f(x_{0})|}{2}.

3 а м е ч а н и е. Если у функции f в точке x_{0} существует один из бесконечных пределов ∞, +∞ и −∞, то для л ю б о г о числа c > 0 существует такая окрестность U (x_{0}) точки x_{0}, что для любой точки x ∈ X ∩ U (x_{0}) выполняются неравенства:

|f(x)| > c, если lim_{x→x_{0}} f(x) = ∞;

f(x) > c, если lim_{x→x_{0}} f(x) = +∞;

f(x) < −c, если lim_{x→x_{0}} f(x) = −∞.

Это следует из определения 5 предела функции, в котором в качестве окрестности U(a) бесконечно удаленной точки в этом случае следует взять окрестность U (a, \frac{1}{c}).

3^{∘}. Если f(x) = c− постоянная, x ∈ X, то lim_{x→x_{0}} f(x) = c.

Это означает, в частности, что постоянная функция является непрерывной.

4^{∘}. Если f(x) ⩾ a, x ∈ X и существует конечный или определенного знака бесконечный предел lim_{x→x_{0}} f(x), то lim_{x→x_{0}} f(x) ⩾ a.

5^{∘}. Если φ(x) ⩽ f(x) ⩽ ψ(x), x ∈ X и сушествуют конечные или определенного знака бесконечные пределы lim_{x→x_{0}} φ(x), lim_{x→x_{0}} ψ(x) и они равны между собой, то существует lim_{x→x_{0}} f(x)u

lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} φ(x) = lim_{x→x_{0}} ψ(x).

6^{∘}. Eсли существуют конечные пределы lim_{x→x_{0}} f(x) и lim_{x→x_{0}} g(x), то существуют и конечные пределы

lim_{x→x_{0}}[λf(x) + μg(x)] = λ lim_{x→x_{0}} f(x) + μ lim_{x→x_{0}} g(x), λ ∈ R, μ ∈ R  (2)
lim_{x→x_{0}} f(x)g(x) = lim_{x→x_{0}} f(x) lim_{x→x_{0}} g(x),  (3)

а если lim_{x→x_{0}} g(x) ≠ 0, то и

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_{x→x_{0}} f(x)}{lim_{x→x_{0}} g(x)}.  (4)

В последнем случае функция \frac{f(x)}{g(x)} рассматривается только для тех x, для которых g(x) ≠ 0 (см. свойство 2^{∘} ).

▷ Утверждения 3^{∘} − 6^{∘} следуют из соответствующих утверждений для пределов последовательностей (см. пп. 5.3, 5.6) Докажем, например, формулу (3). Пустьlim_{x→x_{0}} f(x) = a ∈ R, lim_{x→x_{0}} g(x) = b ∈ R. Возьмем какую-либо последовательность x_{n} ∈ X, n = 1, 2, …, имеющую своим пределом x_{0}. Тогда согласно определению 1 lim_{n→∞} f (x_{n}) = a, lim_{n→∞} g (x_{n}) = b, поэтому в силу свойства пределов последовательностей (свойство 3^{∘} в П. 5.6)

lim_{n→∞} f (x_{n}) g (x_{n}) = lim_{n→∞} f (x_{n}) lim_{n→∞} g (x_{n}) = ab,

и поскольку последовательность {x_{n}} является произвольной последовательностью такой, что x_{n} → x_{0} и x_{n} ∈ X, n = 1, 2, …, то согласно тому же определению 1 предела функции получим

lim_{x→x_{0}} f(x)g(x) = ab = lim_{x→x_{0}} f(x) lim_{x→x_{0}} g(x).◁

Р�Р�Р�Р�С�С�Р�Р�Р� 2 Если функции fug непрерывны в точке x_{0} ∈ X, то функции λf(x) + μg(x), λ ∈ R, μ ∈ R, f(x)g(x), а если g (x_{0}) ≠ 0, то и \frac{f(x)}{g(x)}, непрерывны в точке x_{0}.

▷ Докажем, например, непрерывность произведения f(x)g(x). Если функции f и g непрерывны в точке x_{0}, то в этой точке они имеют конечные пределы f (x _{0}) и g (x_{0}). Поэтому согласно формуле (3) получим

lim_{x→x_{0}} f(x)g(x) = lim_{x→x_{0}} f(x) lim_{x→x_{0}} g(x) = f (x_{0}) g (x_{0}) .

Это и означает непрерывность произведения fg.◁

Отметим, что проведенное доказательство можно было бы и не проводить, так как непрерывность функции в точке означает, что (см. п. 6.2) эта точка принадлежит множеству задания функции и что у функции в этой точке существует предел по указанному множеству. Поскольку функции f и g заданы в точке x_{0}, то, очевидно, и функции λf(x)+μg(x), f(x)g(x), а при g (x_{0}) ≠ 0 и \frac{f(x)}{g(x)}, заданы в этой точке. В силу свойства 6^{∘} у перечисленных функций существуют пределы в точке x_{0}, принадлежащей в данном случае их множеству задания, что и означает их непрерывность в точке x_{0}. Иначе говоря, утверждение следствия является просто частным случаем утверждения 6^{∘}, когда точка, в которой рассматривается предел, принадлежит области определения функций.

2.2 Задание 3

Изучил программу gnuplot, а также его команды. Построил оригинальную кривую в декартовых координатах. Сохранил график в папку с текстом из задания �2. Использовал графический пакет в преамбулу. И добавил само изображение в конце текста с помощью определенных команд графического пакета. Ниже представлена график, который вставил в документ

Рис. 1: Название изображения