\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article}

\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{setspace}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\inputencoding{utf8}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsfonts}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%	{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

  \parbox{8cm}  {

    \renewcommand{\baselinestretch}{1}

    \normalsize

    Выполнил:\\Шувалов Е. Ю. группа \ 22101 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
    \rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
%\section{Описание работы}
%Краткое описание заданий и путей их выполнения.
%\section{Результаты работы}
%\subsection{Задание 2}
%\subsection{Задание 3}
\newpage
\section{Описание работы}
Курс по изучению LaTeX позволил мне осовить новый навык, который пригодится мне в будущем. Благодаря преподавателю, Ольге Богоявленской, передо мной больше не будет стоять вопрос о том, как оформить математические формулы в моих документах. \parВ первой лабораторной работе необходимо было переписать 3 страницы из учебников, связанных с математикой. Звучит просто, но это было не так. Я потратил достаточно много времени на изучение синтаксиса Latex, но это того стоило. Таким образом, я научился использовать различные команды для создания сложных математических формул и простых лаконичных текстов, научился правильно оформлять содержимое документа, включая выравнивание, шрифты, отступы и другие элементы. \parВторая лабораторная работа оказалась куда легче. Но тем не менее я освоил азы Gnuplot, что позволило мне рисовать графики разных функции и добавлять их в файлы LaTeX. Работа с рисунками и графиками вообще достаточно просто реализуется в LaTeX, что делает его использование эффективным. \parВ целом, изучение LaTeX может помочь каждому студенуту, в особенности обучающихся в ИМИТ, стать более эффективныым при создании курсовых и дипломных работ, а также подготовить их к профессиональной карьере.

\subsection{Описание задания 2}\par Подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. Внимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически.

\subsection{Описание задания 3}\par С помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.

\newpage
\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}
Полагая $f^{(n+1)} \stackrel{\text { def }}{=}\left(f^{(n)}\right)^{\prime}, n=1,2, \ldots$, как и для обобщенных функций из пространства $D^{\prime}$, получим

$$
\left(f^{(n)}, \varphi\right)=(-1)^{n}\left(f, \varphi^{(n)}\right), \quad f \in S^{\prime}, \quad \varphi \in S, \quad n=1,2, \ldots
$$

О п р е д е л е н и е 7. Для обобщенной функции $f \in S^{\prime}$ ее {\itпреобразованием Фурье} $F f$ и {\itобратньм преобразованием Фурье} $F^{-1} f$ назьваются функциональ на $S$, определяемье соответственно формулами


\begin{equation}
  \label{1}
(F f, \varphi) \stackrel{\text { def }}{=}(f, F \varphi), \quad \varphi \in S, \\
\end{equation}
\begin{equation}
  \label{2}
\left(F^{-1} f, \varphi\right) \stackrel{\text { def }}{=}\left(f, F^{-1} \varphi\right), \quad \varphi \in S .
\end{equation}

Эти определения имеют смысл, так как если $\varphi \in S$, то согласно теореме 2 $F \varphi \in S$ и $F^{-1} \varphi \in S$.

Можно показать, что соотношения (\ref{1}) и (\ref{2}) выполняются, когда $f$ является обычной абсолютно интегрируемой на числовой оси $R$ функцией: они означают просто перемену порядка интегрирования. Например, формула (\ref{1}) с точностью до констант имеет в этом случае вид

$$
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) d x \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{-i x y} d y=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(y) d y \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) e^{-i x y} d x .
$$

В силу примера 2 преобразование Фурье оказывается теперь определенным для более широкого класса и обычных функций, чем это было раньше, в частности, преобразование Фурье определено для многочленов и вообще для всех функций медленного роста на бесконечности.

П р и м е р 3. Найдем преобразование Фурье единицы, т. е. функции $f(x)=1, x \in R$, рассматриваемой как обобщенная функция (она является, очевидно, функцией медленного роста: $1 \in S^{\prime}$ ).

Имеeм

$$
\begin{gathered}
(F 1, \varphi) \underset{(\ref{1})}{=}(1, F \varphi) \underset{(13)}{=} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} d y \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) e^{-i x y} d x= \\
=\sqrt{2 \pi}\left[\frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} d y \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) e^{-i y(x-t)} d x\right]_{t=0} \underset{(16)}{=}\\
\underset{(16)}{=} \int\limits_{(16)} \sqrt{2 \pi}[\varphi(t)]_{t=0}=\sqrt{2 \pi} \varphi(0)=\sqrt{2 \pi}(\delta, \varphi), \varphi \in S
\end{gathered}
$$

(мы воспользовались здесь соотношением (\ref{1}), т. е., что то же самое, соотношением $\left.F^{-1}(F \varphi)=\varphi\right)$). Таким образом,

$$
F \cdot 1=\sqrt{2 \pi} \delta \text {. }
$$

П р и м е р 4. Найдем $F \delta$ :

$(F \delta, \varphi)=(\delta, F \varphi)=(F \varphi)(0)=\left.\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) e^{-i x y} d x\right|_{y=0}=$

$$
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) d x \underset{(20)}{=}\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \varphi\right), \quad \varphi \in S .
$$

Отсюда следует, что $F \delta=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$.

Т е о р е м а 3. {\itПреобразование Фурье $F$ отображает пространство $S^{\prime}$ линейно, непрерывно и взаимно однозначно на себя.}

Эта теорема является прямым следствием теоремы 2 об отображении пространства $S$ с помощью прямого и обратного преобразований Фурье линейно, непрерывно и взаимно однозначно на себя, так как доказательство соответствующих свойств преобразования Фурье обобщенных функций сводится с помощью формул (\ref{1}) и (\ref{2}) к аналогичным свойствам преобразования Фурье основных функций. Убедимся в этом.

$\triangleright$ Прежде всего, если $f \in S^{\prime}$, то $F f$ является линейным функционалом на $S$ : если $\varphi_{1} \in S, \varphi_{2} \in S, \lambda_{1} \in C, \lambda_{2} \in C$, то

$$
\begin{aligned}
\left(F f, \lambda_{1} \varphi_{1}+\lambda_{2} \varphi_{2}\right) \underset{(\ref{1})}{=} \\
\underset{(\ref{1})}{=}\left(f, F\left(\lambda_{1} \varphi_{1}+\lambda_{2} \varphi_{2}\right)\right)_{(24)}^{=}\left(f, \lambda_{1} F \varphi_{1}+\lambda_{2} F \varphi_{2}\right)_{(8)}^{=} \\
\underset{(8)}{=} \lambda_{1}\left(f, F \varphi_{1}\right)+\lambda_{2}\left(f, F \varphi_{2}\right) \underset{(31)}{=} \lambda_{1}\left(F f, \varphi_{1}\right)+\lambda_{2}\left(F f, \varphi_{2}\right) .
\end{aligned}
$$

Далее, $F f$ является непрерывным функционалом: если $\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}=\varphi$ в $S$, то

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(F f, \varphi_{n}\right) \underset{(\ref{1})}{=} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(f, F \varphi_{n}\right) \underset{\substack{(5) \\(6)}}{=}(f, F \varphi) \underset{(\ref{1})}{=}(F f, \varphi) .
$$

Таким образом, преобразование Фурье обобщенной функции из пространства $S^{\prime}$ является снова обобщенной функцией из этого пространства:

\begin{equation}
  \label{3}
F\left(S^{\prime}\right) \subset S^{\prime}
\end{equation}

Аналогично доказывается, что

\begin{equation}
  \label{4}
F^{-1}\left(S^{\prime}\right) \subset S^{\prime}
\end{equation}

Покажем теперь, что для любой функции $f \in S^{\prime}$ имеют место равенства

\begin{equation}
  \label{5}
F^{-1}(F f)=F\left(F^{-1} f\right)=f
\end{equation}

В самом деле, например, 

$$
\left(F^{-1}(F f), \varphi\right) \underset{(\ref{2})}{=}\left(F f, F^{-1} \varphi\right) \underset{\substack{(17) \\(\ref{1})}}{=}\left(f, F\left(F^{-1} \varphi\right)\right)_{(34)}^{=}(f, \varphi), \varphi \in S.
$$

Из соотношений (\ref{5}) сразу следует взаимно однозначность (инъективность) отображений $F$ и $F^{-1}$. Например, если $f_{1} \in S^{\prime}, f_{2} \in S^{\prime}$ и $F f_{1}=F f_{2}$, то, применив к обеим частям этого равенства преобразование $F^{-1}$, в силу (\ref{5}) получим $f_{1}=f_{2}$.

Из соотношений (\ref{5}) следует также, что преобразование Фурье $F$ отображает пространство $S^{\prime}$ не только в $S^{\prime}$, но и на $S^{\prime}$ (т. е. $F$ - биекция). Действительно, если $\psi \in S^{\prime}$, то для элемента $\varphi \stackrel{\text { def }}{=} F^{-1} \psi$ будем иметь $F \varphi=F\left(F^{-1} \psi\right) \underset{(55.42)}{=} \psi$, т. е. в любой элемент $\psi$ пространства $S^{\prime}$ при отображении $F$ отображается некоторый элемент $\varphi$ из $S^{\prime}$.

Наконец, покажем, что отображение $F$ непрерывно на $S^{\prime}:$ если 

$
\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}=f$ в $S^{\prime}$ (см. (17)), то


$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(F f_{n}, \varphi\right) \underset{(\ref{1})}{=} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(f_{n}, F \varphi\right) \underset{(28)}{=}\left(f_{1} F \varphi\right) \underset{(\ref{5})}{=}(F f, \varphi), \quad \varphi \in S, $(18)$
$

т. е. $\lim _{n \rightarrow \infty} F f_{n}=F f$ в $S^{\prime}$, а это и означает непрерывность преобразования Фурье на $S^{\prime} . \triangleleft$

Аналогично теореме 3 доказывается, что и обратное преобразование Фурье также отображает линейно, непрерывно и взаимно однозначно пространство обобщенных функций $S^{\prime}$ на себя.

\newpage
\subsection{Задание 3}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
\includegraphics[width=7in]{x2.PNG}

\end{document}
