\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \setcounter{page}{1} \usepackage{expl3} \usepackage{titleps, amsmath} \usepackage{ucs} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry} \usepackage{indentfirst} \renewcommand{\baselinestretch}{1} \newtheorem{yp}{Упражнение} \newtheorem{zam1}{Замечание} \newtheorem{sv}{Свойство} \newtheorem{lm}{Лемма} \newtheorem{theorem}{Теорема} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \renewcommand{\baselinestretch}{1} {\large {\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\ ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\ Институт математики и информационных технологий\\ Кафедра информатики и математического обеспечения } } \end{center} \vfill \begin{center} {\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\ %\bigskip % {\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\ \end{center} \bigskip \begin{flushright} \parbox{8cm} { \renewcommand{\baselinestretch}{1} \normalsize Выполнил:\\Козлов Н.~П. группа \ 22101 \\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Руководитель практики:\\ к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\ %Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Итоговая оценка:\\ %\begin{flushright} %<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\ %\end{flushright} %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\ %\end{flushright} } \end{flushright} \vfill \begin{center} \large Петрозаводск -- 2023 \end{center} \newpage \tableofcontents \newpage \section{Описание работы} Вот и настало время последней работы в Latex. Хочу выразить благодарность Ольге Юрьевне, которая на протяжении всего курса помогала в освоении Latex(tex).\\ Первое задание заключалось в подготовке документа, который содержит в себе текст из учебника по курсу Математического анализа. Увидив это задание впервые, казалось, что его выполнение займет большое количество времени и сил. Но, посмотрев скринкасты и узучив литературу, предоставеленную нам преподавателем, я понял, что это задание намного легче, чем кажется. Благодаря этой работе я научился. Я освоил оформлению страниц, создание различных окружений. \\Второе задание включало в себя изучение программы Gnuplot, с помощью которой нужно было создать график и добавить его в документ первого задания. Изучив документацию и посмотрев скринкасты, я с легкостью выполнил данное задание и открыл для себя отличную программу для построения графиков и диаграмм. \\Подводя итог, можно сказать, что курс по дисциплине Latex оказался очень полезен для меня. \\Чуть ниже можно увидить точную формулировку заданий. \subsection{Задание 2} \parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2) \parСкринкаст о наборе математических формул. \parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах. \parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд. \parВнимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически. \subsection{Задание 3} \parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. \parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй . \parПлавающие объекты Скринкаст \newpage \section{Результаты работы} \subsection{Задание 2} Из соотношений (42) и (43) следует, что \begin{equation} \label{1} \qquad \sum_{i=1}^{m} \mu s_{k}\left(X_{1}\right) \leqslant \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right) . \end{equation} $$ \text { Множества } X_{i} \text { и } \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \text { измеримы, поэтому существуют конечные } \text { пределы } \\ $$ $$ \begin{array}{ll} \mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\ \mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} . \end{array} $$ \begin{equation} \label{2} \lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(X_{i}\right)=\mu X_{i}, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} . \end{equation} Перейдя к пределу при $k \rightarrow \infty$ в неравенстве {(\ref{1})}, в силу равенств (\ref{2}) получим,что $$ \sum_{i=1}^{m} \mu X_{i} \leqslant \mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} . $$ Из неравенств (44) и (45) вытекает равенство (46), т. е. свойство 4. Отметим, что как нижняя, так и верхняя меры множества не обладают свойствами аддитивности. Әто видно уже в одномерном случае. Например, если $X_{1}-$ множество рациональных, а $X_{2}-$ иррациональных точек отрезка $[0,1]$, то $$ \begin{array}{ll} \mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\ \mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} . \end{array} $$ \begin{zam1} \label{q1} Добавление к измеримому множеству множества меры нуль или вычитание его из измеримого множества не нарушает измеримости исходного множества (это следует из свойства 3 меры, поскольку множества меры нуль измеримы) и не меняет его меры (а это следует непосредственно из свойства 4 меры). В частности, если $X-$ измеримое множество, то измеримы его замыкание $\bar{X}$ и множество $X_{\text {int }}$ его внутренних точек, причем \begin{equation} \label{3} \mu X_{\mathrm{int}}=\mu X=\mu \bar{X} \end{equation} Действительно, $$ \begin{gathered} X=X_{\mathrm{int}} \cup\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right), \quad X \backslash X_{\mathrm{int}} \subset \partial X, \\ \bar{X}=X \cup(\bar{X} \backslash X), \quad \bar{X} \backslash X \subset \partial X . \end{gathered} $$ По теореме 1 имеем $\mu \partial X=0$, поэтому $$ \mu\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right)=\mu(\bar{X} \backslash X)=0 $$ и, следовательно, имеет место равенство (\ref{3}) В частности, если $\mu X=0$, то $\mu \bar{X}=0$. \end{zam1} \begin{zam1} \label{q2} Замыкание измеримого множества, как и замыкание всякого ограниченного множества, является компактом. Таким образом, замьғание измеримого множества есть измериМbІй Компакт. \end{zam1} \begin{sv} \label{p1} Мера множества не меняется при параллельном nepeнoce. \end{sv} Прежде чем доказывать это утверждение, докажем еще одну лeммy. \begin{lm} \label{l1} Ecлu $X_{k} \subset X \subset Y_{k}$, $X_{k}, Y_{k}-$ uзмеримье множества, $k=1,2, \ldots, u$ $$ \lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0 $$ по множество $X$ также измеримо и $$ \mu X=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k} $$ $\triangleright$ Действительно, если положить $X_{k}^{\prime}=\left(X_{k}\right)_{\text {int }}, \quad Y_{k}^{\prime}=\bar{Y}_{i k}$, то будем иметь $$ \mu X_{k}^{\prime}=\mu\left(X_{k}\right)_{\mathrm{int}}=\mu X_{k}, \quad \mu Y_{k}^{\prime}=\mu \bar{Y}_{i k}=\mu Y_{k} $$ a ПоЭтому $$ \begin{array}{r} \lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}^{\prime}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}^{\prime}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}= \\ =\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0 \end{array} $$ Из включений $X \subset \bar{X} \subset Y_{k}^{\prime}, X_{k}^{\prime} \subset X_{\text {int }}$ имеем $\partial X=\bar{X} \backslash X_{\text {int }} \subset$ $\subset Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}$. Поэтому имеет место неравенство $\mu^{*} \partial X \leqslant \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)$, откуда при $k \rightarrow \infty$ получаем $\mu^{*} \partial X=0$, а значит, и $\mu \partial X=0$. Әто согласно теореме 1 означает измеримость множества $X$. (Ограниченность множества $X$, которая требуется в условиях теоремь 1 , следует из включения $X \subset Y_{k}$ и ограниченности множества $Y_{k}$, как всякого измеримого множества.) Далее, $X \backslash X_{k} \subset Y_{k} \backslash X_{k}, \quad Y_{k} \backslash X \subset Y_{k} \backslash X_{k}$, поэтому $\mu\left(X \backslash X_{k}\right) \leqslant$ $\leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad \mu\left(Y_{k} \backslash X\right) \leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad$ где $\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0$, а следовательно, в силу аддитивности меры $$ \lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu X-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X\right)=0 $$ \end{lm} Докажем теперь свойство $5^{\circ}$ меры. $\triangleright$ Пусть $X$ - измеримое множество, $X \subset R^{n}, a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$, $X+a=\{x+a: x \in X\}$. Если $Q-n$-мерный куб с ребрами длины $h$ и параллельньми осям координат, то множество $Q+a$ также является кубом того же вида и, следовательно, измеримым множеством, причем (см. замечание 4) $$ \mu(Q+a)=\mu Q=h^{n} . $$ Для каждого натурального $k$ множества $X_{k}=s_{k}(X)+a, Y_{k}=$ $=S_{k}(X)+a$ измеримы, так как являются объединением конечного числа измеримых множеств вида $Q+a$, где $Q$ - куб ранга $k$, и $$ \mu X_{k}=\mu s_{k}(X), \quad \mu Y_{k}=\mu S_{k}(X) $$ ибо меры множеств $X_{k}$ и $Y_{k}$ равна сумме мер (как в формуле (\ref{3})), составляющих их кубов. Поскольку $$ X_{k} \subset X+a \subset Y_{k} $$ И $$ \lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu S_{k}(X)-\mu s_{k}(X)\right)=0, $$ то согласно лемме \ref{l1} множество $X+a$ измеримо и $$ \mu(X+a)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}(X)=\mu X $$ \begin{zam1} \label{q3} Рассмотрим $(n+1)$-мерное пространство $R^{n+1}$ как произведение $n$-мерного $R^{n}$ и числовой оси $R$ : $$ R^{n+1}=R^{n} \times R $$ Если $X \subset R^{n},[a, b] \subset R$, то множество $X \times[a, b]$ точек $\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}, y\right),\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y \in[a, b]$, называется иилиндром с основанием $X$ (см. п. 40.2) и образующей $[a, b]$. Можно доказать, что если $X$ - измеримое в смысле $n$-мерной меры множество, то цилиндр $X \times[a, b]$ измерим в смысле $(n+1)$ мерной меры и \begin{equation} \label{4} \mu_{n+1}(X \times[a, b])=(b-a) \mu_{n} X \end{equation} \end{zam1} \begin{yp} \label{y1} Доказать утверждения замечания \ref{q3} . \end{yp} $\textbf{42.2. Множества меры нуль.}$ Укажем два типа множеств, мера Жордана которых всегда равна нулю (на подобные множества нередко удается разбить границу рассматриваемых множеств и тем самым доказать их измеримость). \begin{theorem} График всякой непрерывной на компакте функции имеет меру Жордана, равную нулю. \end{theorem} $\triangleright$ Пусть $X \subset R^{n}, X$ - компакт, $y=f(x)$ - непрерывная на $X$ функция, $x \in X, y \in R$ и $$ Y_{i}=\left\{(x, y): x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y=f(x)\right\} $$ \newpage \subsection{Задание 3} Из соотношений (42) и (43) следует, что \begin{equation} \label{1} \qquad \sum_{i=1}^{m} \mu s_{k}\left(X_{1}\right) \leqslant \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right) . \end{equation} $$ \text { Множества } X_{i} \text { и } \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} \text { измеримы, поэтому существуют конечные } \text { пределы } \\ $$ $$ \begin{array}{ll} \mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\ \mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} . \end{array} $$ \begin{equation} \label{2} \lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(X_{i}\right)=\mu X_{i}, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} . \end{equation} Перейдя к пределу при $k \rightarrow \infty$ в неравенстве {(\ref{1})}, в силу равенств (\ref{2}) получим,что $$ \sum_{i=1}^{m} \mu X_{i} \leqslant \mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} . $$ Из неравенств (44) и (45) вытекает равенство (46), т. е. свойство 4. Отметим, что как нижняя, так и верхняя меры множества не обладают свойствами аддитивности. Әто видно уже в одномерном случае. Например, если $X_{1}-$ множество рациональных, а $X_{2}-$ иррациональных точек отрезка $[0,1]$, то $$ \begin{array}{ll} \mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\ \mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} . \end{array} $$ \begin{zam1} \label{q1} Добавление к измеримому множеству множества меры нуль или вычитание его из измеримого множества не нарушает измеримости исходного множества (это следует из свойства 3 меры, поскольку множества меры нуль измеримы) и не меняет его меры (а это следует непосредственно из свойства 4 меры). В частности, если $X-$ измеримое множество, то измеримы его замыкание $\bar{X}$ и множество $X_{\text {int }}$ его внутренних точек, причем \begin{equation} \label{3} \mu X_{\mathrm{int}}=\mu X=\mu \bar{X} \end{equation} Действительно, $$ \begin{gathered} X=X_{\mathrm{int}} \cup\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right), \quad X \backslash X_{\mathrm{int}} \subset \partial X, \\ \bar{X}=X \cup(\bar{X} \backslash X), \quad \bar{X} \backslash X \subset \partial X . \end{gathered} $$ По теореме 1 имеем $\mu \partial X=0$, поэтому $$ \mu\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right)=\mu(\bar{X} \backslash X)=0 $$ и, следовательно, имеет место равенство (\ref{3}) В частности, если $\mu X=0$, то $\mu \bar{X}=0$. \end{zam1} \begin{zam1} \label{q2} Замыкание измеримого множества, как и замыкание всякого ограниченного множества, является компактом. Таким образом, замьғание измеримого множества есть измериМbІй Компакт. \end{zam1} \begin{sv} \label{p1} Мера множества не меняется при параллельном nepeнoce. \end{sv} Прежде чем доказывать это утверждение, докажем еще одну лeммy. \begin{lm} \label{l1} Ecлu $X_{k} \subset X \subset Y_{k}$, $X_{k}, Y_{k}-$ uзмеримье множества, $k=1,2, \ldots, u$ $$ \lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0 $$ по множество $X$ также измеримо и $$ \mu X=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k} $$ $\triangleright$ Действительно, если положить $X_{k}^{\prime}=\left(X_{k}\right)_{\text {int }}, \quad Y_{k}^{\prime}=\bar{Y}_{i k}$, то будем иметь $$ \mu X_{k}^{\prime}=\mu\left(X_{k}\right)_{\mathrm{int}}=\mu X_{k}, \quad \mu Y_{k}^{\prime}=\mu \bar{Y}_{i k}=\mu Y_{k} $$ a ПоЭтому $$ \begin{array}{r} \lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}^{\prime}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}^{\prime}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}= \\ =\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0 \end{array} $$ Из включений $X \subset \bar{X} \subset Y_{k}^{\prime}, X_{k}^{\prime} \subset X_{\text {int }}$ имеем $\partial X=\bar{X} \backslash X_{\text {int }} \subset$ $\subset Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}$. Поэтому имеет место неравенство $\mu^{*} \partial X \leqslant \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)$, откуда при $k \rightarrow \infty$ получаем $\mu^{*} \partial X=0$, а значит, и $\mu \partial X=0$. Әто согласно теореме 1 означает измеримость множества $X$. (Ограниченность множества $X$, которая требуется в условиях теоремь 1 , следует из включения $X \subset Y_{k}$ и ограниченности множества $Y_{k}$, как всякого измеримого множества.) Далее, $X \backslash X_{k} \subset Y_{k} \backslash X_{k}, \quad Y_{k} \backslash X \subset Y_{k} \backslash X_{k}$, поэтому $\mu\left(X \backslash X_{k}\right) \leqslant$ $\leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad \mu\left(Y_{k} \backslash X\right) \leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad$ где $\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0$, а следовательно, в силу аддитивности меры $$ \lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu X-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X\right)=0 $$ \end{lm} Докажем теперь свойство $5^{\circ}$ меры. $\triangleright$ Пусть $X$ - измеримое множество, $X \subset R^{n}, a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$, $X+a=\{x+a: x \in X\}$. Если $Q-n$-мерный куб с ребрами длины $h$ и параллельньми осям координат, то множество $Q+a$ также является кубом того же вида и, следовательно, измеримым множеством, причем (см. замечание 4) $$ \mu(Q+a)=\mu Q=h^{n} . $$ Для каждого натурального $k$ множества $X_{k}=s_{k}(X)+a, Y_{k}=$ $=S_{k}(X)+a$ измеримы, так как являются объединением конечного числа измеримых множеств вида $Q+a$, где $Q$ - куб ранга $k$, и $$ \mu X_{k}=\mu s_{k}(X), \quad \mu Y_{k}=\mu S_{k}(X) $$ ибо меры множеств $X_{k}$ и $Y_{k}$ равна сумме мер (как в формуле (\ref{3})), составляющих их кубов. Поскольку $$ X_{k} \subset X+a \subset Y_{k} $$ И $$ \lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu S_{k}(X)-\mu s_{k}(X)\right)=0, $$ то согласно лемме \ref{l1} множество $X+a$ измеримо и $$ \mu(X+a)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}(X)=\mu X $$ \begin{zam1} \label{q3} Рассмотрим $(n+1)$-мерное пространство $R^{n+1}$ как произведение $n$-мерного $R^{n}$ и числовой оси $R$ : $$ R^{n+1}=R^{n} \times R $$ Если $X \subset R^{n},[a, b] \subset R$, то множество $X \times[a, b]$ точек $\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}, y\right),\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y \in[a, b]$, называется иилиндром с основанием $X$ (см. п. 40.2) и образующей $[a, b]$. Можно доказать, что если $X$ - измеримое в смысле $n$-мерной меры множество, то цилиндр $X \times[a, b]$ измерим в смысле $(n+1)$ мерной меры и \begin{equation} \label{4} \mu_{n+1}(X \times[a, b])=(b-a) \mu_{n} X \end{equation} \end{zam1} \begin{yp} \label{y1} Доказать утверждения замечания \ref{q3} . \end{yp} $\textbf{42.2. Множества меры нуль.}$ Укажем два типа множеств, мера Жордана которых всегда равна нулю (на подобные множества нередко удается разбить границу рассматриваемых множеств и тем самым доказать их измеримость). \begin{theorem} График всякой непрерывной на компакте функции имеет меру Жордана, равную нулю. \end{theorem} $\triangleright$ Пусть $X \subset R^{n}, X$ - компакт, $y=f(x)$ - непрерывная на $X$ функция, $x \in X, y \in R$ и $$ Y_{i}=\left\{(x, y): x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y=f(x)\right\} $$ \begin{figure}{h} \centering\includegraphics[scale=0.3]{sinx.eps} \label{void} \end{figure} \end{document}