\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\setcounter{page}{1}
\usepackage{expl3}
\usepackage{titleps, amsmath}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\newtheorem{yp}{Упражнение}
\newtheorem{zam1}{Замечание}
\newtheorem{sv}{Свойство}
\newtheorem{lm}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
% {\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

  \parbox{8cm} {

    \renewcommand{\baselinestretch}{1}

    \normalsize

    Выполнил:\\Козлов Н.~П. группа \ 22101 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
    \rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}


Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}
}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}

Вот и настало время последней работы в Latex. Хочу выразить благодарность Ольге Юрьевне, которая на протяжении всего курса помогала в освоении Latex(tex).\\
Первое задание заключалось в подготовке документа, который содержит в себе текст из учебника по курсу Математического анализа. Увидив это задание впервые, казалось, что его выполнение займет большое количество времени и сил. Но, посмотрев скринкасты и узучив литературу, предоставеленную нам преподавателем, я понял, что это задание намного легче, чем кажется. Благодаря этой работе я научился. Я освоил оформлению страниц, создание различных окружений. 
\\Второе задание включало в себя изучение программы Gnuplot, с помощью которой нужно было создать график и добавить его в документ первого задания. Изучив документацию и посмотрев скринкасты, я с легкостью выполнил данное задание и открыл для себя отличную программу для построения графиков и диаграмм. 
\\Подводя итог, можно сказать, что курс по дисциплине Latex оказался очень полезен для меня.
\\Чуть ниже можно увидить точную формулировку заданий.
\subsection{Задание 2}
\parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2)
\parСкринкаст о наборе математических формул.
\parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах.
\parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.
\parВнимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически.

\subsection{Задание 3}
\parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.
\parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй .
\parПлавающие объекты Скринкаст


\newpage
\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}

Из соотношений (42) и (43) следует, что

\begin{equation}
\label{1}
\qquad \sum_{i=1}^{m} \mu s_{k}\left(X_{1}\right) \leqslant \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right) . 
\end{equation} 


$$
\text { Множества } X_{i} \text { и } \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} 
\text { измеримы, поэтому существуют конечные } 
\text { пределы } \\
$$

$$
\begin{array}{ll}
\mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\
\mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} .
\end{array}
$$


\begin{equation}
\label{2}
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(X_{i}\right)=\mu X_{i}, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} .
\end{equation}



Перейдя к пределу при $k \rightarrow \infty$ в неравенстве {(\ref{1})}, в силу равенств (\ref{2}) получим,что

$$
\sum_{i=1}^{m} \mu X_{i} \leqslant \mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} .
$$

Из неравенств (44) и (45) вытекает равенство (46), т. е. свойство 4.

Отметим, что как нижняя, так и верхняя меры множества не обладают свойствами аддитивности. Әто видно уже в одномерном случае. Например, если $X_{1}-$ множество рациональных, а $X_{2}-$ иррациональных точек отрезка $[0,1]$, то

$$
\begin{array}{ll}
\mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\
\mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} .
\end{array}
$$

\begin{zam1}
\label{q1}
Добавление к измеримому множеству множества меры нуль или вычитание его из измеримого множества не нарушает измеримости исходного множества (это следует из свойства 3 меры, поскольку множества меры нуль измеримы) и не меняет его меры (а это следует непосредственно из свойства 4 меры). В частности, если $X-$ измеримое множество, то измеримы его замыкание $\bar{X}$ и множество $X_{\text {int }}$ его внутренних точек, причем

\begin{equation}
\label{3}
\mu X_{\mathrm{int}}=\mu X=\mu \bar{X}
\end{equation}

Действительно,
$$
\begin{gathered}
X=X_{\mathrm{int}} \cup\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right), \quad X \backslash X_{\mathrm{int}} \subset \partial X, \\
\bar{X}=X \cup(\bar{X} \backslash X), \quad \bar{X} \backslash X \subset \partial X .
\end{gathered}
$$

По теореме 1 имеем $\mu \partial X=0$, поэтому

$$
\mu\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right)=\mu(\bar{X} \backslash X)=0
$$

и, следовательно, имеет место равенство (\ref{3})

В частности, если $\mu X=0$, то $\mu \bar{X}=0$.
\end{zam1}

\begin{zam1}
\label{q2}
Замыкание измеримого множества, как и замыкание всякого ограниченного множества, является компактом. Таким образом, замьғание измеримого множества есть измериМbІй Компакт.
\end{zam1}

\begin{sv}
\label{p1}
Мера множества не меняется при параллельном nepeнoce.
\end{sv}

Прежде чем доказывать это утверждение, докажем еще одну лeммy.

\begin{lm}
\label{l1}
Ecлu

$X_{k} \subset X \subset Y_{k}$,
$X_{k}, Y_{k}-$ uзмеримье множества, $k=1,2, \ldots, u$

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0
$$

по множество $X$ также измеримо и

$$
\mu X=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}
$$

$\triangleright$ Действительно, если положить $X_{k}^{\prime}=\left(X_{k}\right)_{\text {int }}, \quad Y_{k}^{\prime}=\bar{Y}_{i k}$, то будем иметь

$$
\mu X_{k}^{\prime}=\mu\left(X_{k}\right)_{\mathrm{int}}=\mu X_{k}, \quad \mu Y_{k}^{\prime}=\mu \bar{Y}_{i k}=\mu Y_{k}
$$

a ПоЭтому

$$
\begin{array}{r}
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}^{\prime}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}^{\prime}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}= \\
=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0
\end{array}
$$

Из включений $X \subset \bar{X} \subset Y_{k}^{\prime}, X_{k}^{\prime} \subset X_{\text {int }}$ имеем $\partial X=\bar{X} \backslash X_{\text {int }} \subset$ $\subset Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}$. Поэтому имеет место неравенство $\mu^{*} \partial X \leqslant \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)$, откуда при $k \rightarrow \infty$ получаем $\mu^{*} \partial X=0$, а значит, и $\mu \partial X=0$. Әто согласно теореме 1 означает измеримость множества $X$. (Ограниченность множества $X$, которая требуется в условиях теоремь 1 , следует из включения $X \subset Y_{k}$ и ограниченности множества $Y_{k}$, как всякого измеримого множества.)

Далее, $X \backslash X_{k} \subset Y_{k} \backslash X_{k}, \quad Y_{k} \backslash X \subset Y_{k} \backslash X_{k}$, поэтому $\mu\left(X \backslash X_{k}\right) \leqslant$ $\leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad \mu\left(Y_{k} \backslash X\right) \leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad$ где $\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0$, а следовательно, в силу аддитивности меры

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu X-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X\right)=0
$$
\end{lm}

Докажем теперь свойство $5^{\circ}$ меры.

$\triangleright$ Пусть $X$ - измеримое множество, $X \subset R^{n}, a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$, $X+a=\{x+a: x \in X\}$. Если $Q-n$-мерный куб с ребрами длины $h$ и параллельньми осям координат, то множество $Q+a$ также является кубом того же вида и, следовательно, измеримым множеством, причем (см. замечание 4)

$$
\mu(Q+a)=\mu Q=h^{n} .
$$

Для каждого натурального $k$ множества $X_{k}=s_{k}(X)+a, Y_{k}=$ $=S_{k}(X)+a$ измеримы, так как являются объединением конечного числа измеримых множеств вида $Q+a$, где $Q$ - куб ранга $k$, и

$$
\mu X_{k}=\mu s_{k}(X), \quad \mu Y_{k}=\mu S_{k}(X)
$$

ибо меры множеств $X_{k}$ и $Y_{k}$ равна сумме мер (как в формуле (\ref{3})), составляющих их кубов.

Поскольку

$$
X_{k} \subset X+a \subset Y_{k}
$$

И

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu S_{k}(X)-\mu s_{k}(X)\right)=0,
$$

то согласно лемме \ref{l1} множество $X+a$ измеримо и

$$
\mu(X+a)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}(X)=\mu X
$$

\begin{zam1}
\label{q3}
Рассмотрим $(n+1)$-мерное пространство $R^{n+1}$ как произведение $n$-мерного $R^{n}$ и числовой оси $R$ :

$$
R^{n+1}=R^{n} \times R
$$

Если $X \subset R^{n},[a, b] \subset R$, то множество $X \times[a, b]$ точек $\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}, y\right),\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y \in[a, b]$, называется иилиндром с основанием $X$ (см. п. 40.2) и образующей $[a, b]$.

Можно доказать, что если $X$ - измеримое в смысле $n$-мерной меры множество, то цилиндр $X \times[a, b]$ измерим в смысле $(n+1)$ мерной меры и

\begin{equation}
\label{4}
\mu_{n+1}(X \times[a, b])=(b-a) \mu_{n} X
\end{equation}

\end{zam1}

\begin{yp}
\label{y1}
Доказать утверждения замечания \ref{q3} .
\end{yp}


$\textbf{42.2. Множества меры нуль.}$ Укажем два типа множеств, мера Жордана которых всегда равна нулю (на подобные множества нередко удается разбить границу рассматриваемых множеств и тем самым доказать их измеримость).

\begin{theorem}
График всякой непрерывной на компакте функции имеет меру Жордана, равную нулю.
\end{theorem}

$\triangleright$ Пусть $X \subset R^{n}, X$ - компакт, $y=f(x)$ - непрерывная на $X$ функция, $x \in X, y \in R$ и

$$
Y_{i}=\left\{(x, y): x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y=f(x)\right\}
$$

\newpage

\subsection{Задание 3}
Из соотношений (42) и (43) следует, что


\begin{equation}
\label{1}
\qquad \sum_{i=1}^{m} \mu s_{k}\left(X_{1}\right) \leqslant \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right) . 
\end{equation} 


$$
\text { Множества } X_{i} \text { и } \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} 
\text { измеримы, поэтому существуют конечные } 
\text { пределы } \\
$$

$$
\begin{array}{ll}
\mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\
\mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} .
\end{array}
$$


\begin{equation}
\label{2}
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(X_{i}\right)=\mu X_{i}, \quad i=1,2, \ldots, m, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}\left(\bigcup_{i=1}^{m} X_{i}\right)=\mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} .
\end{equation}



Перейдя к пределу при $k \rightarrow \infty$ в неравенстве {(\ref{1})}, в силу равенств (\ref{2}) получим,что

$$
\sum_{i=1}^{m} \mu X_{i} \leqslant \mu \bigcup_{i=1}^{m} X_{i} .
$$

Из неравенств (44) и (45) вытекает равенство (46), т. е. свойство 4.

Отметим, что как нижняя, так и верхняя меры множества не обладают свойствами аддитивности. Әто видно уже в одномерном случае. Например, если $X_{1}-$ множество рациональных, а $X_{2}-$ иррациональных точек отрезка $[0,1]$, то

$$
\begin{array}{ll}
\mu_{*} X_{1}=\mu_{*} X_{2}=0, & \mu_{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu_{*}[0,1]=1 \neq 0=\mu_{*} X_{1}+\mu_{*} X_{2}, \\
\mu^{*} X_{1}=\mu^{*} X_{2}=1, & \mu^{*}\left(X_{1} \cup X_{2}\right)=\mu^{*}[0,1]=1 \neq 2=\mu^{*} X_{1}+\mu^{*} X_{2} .
\end{array}
$$

\begin{zam1}
\label{q1}
Добавление к измеримому множеству множества меры нуль или вычитание его из измеримого множества не нарушает измеримости исходного множества (это следует из свойства 3 меры, поскольку множества меры нуль измеримы) и не меняет его меры (а это следует непосредственно из свойства 4 меры). В частности, если $X-$ измеримое множество, то измеримы его замыкание $\bar{X}$ и множество $X_{\text {int }}$ его внутренних точек, причем

\begin{equation}
\label{3}
\mu X_{\mathrm{int}}=\mu X=\mu \bar{X}
\end{equation}

Действительно,
$$
\begin{gathered}
X=X_{\mathrm{int}} \cup\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right), \quad X \backslash X_{\mathrm{int}} \subset \partial X, \\
\bar{X}=X \cup(\bar{X} \backslash X), \quad \bar{X} \backslash X \subset \partial X .
\end{gathered}
$$

По теореме 1 имеем $\mu \partial X=0$, поэтому

$$
\mu\left(X \backslash X_{\mathrm{int}}\right)=\mu(\bar{X} \backslash X)=0
$$

и, следовательно, имеет место равенство (\ref{3})

В частности, если $\mu X=0$, то $\mu \bar{X}=0$.
\end{zam1}

\begin{zam1}
\label{q2}
Замыкание измеримого множества, как и замыкание всякого ограниченного множества, является компактом. Таким образом, замьғание измеримого множества есть измериМbІй Компакт.
\end{zam1}

\begin{sv}
\label{p1}
Мера множества не меняется при параллельном nepeнoce.
\end{sv}

Прежде чем доказывать это утверждение, докажем еще одну лeммy.

\begin{lm}
\label{l1}
Ecлu

$X_{k} \subset X \subset Y_{k}$,
$X_{k}, Y_{k}-$ uзмеримье множества, $k=1,2, \ldots, u$

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0
$$

по множество $X$ также измеримо и

$$
\mu X=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}
$$

$\triangleright$ Действительно, если положить $X_{k}^{\prime}=\left(X_{k}\right)_{\text {int }}, \quad Y_{k}^{\prime}=\bar{Y}_{i k}$, то будем иметь

$$
\mu X_{k}^{\prime}=\mu\left(X_{k}\right)_{\mathrm{int}}=\mu X_{k}, \quad \mu Y_{k}^{\prime}=\mu \bar{Y}_{i k}=\mu Y_{k}
$$

a ПоЭтому

$$
\begin{array}{r}
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}^{\prime}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}^{\prime}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu Y_{k}-\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}= \\
=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0
\end{array}
$$

Из включений $X \subset \bar{X} \subset Y_{k}^{\prime}, X_{k}^{\prime} \subset X_{\text {int }}$ имеем $\partial X=\bar{X} \backslash X_{\text {int }} \subset$ $\subset Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}$. Поэтому имеет место неравенство $\mu^{*} \partial X \leqslant \mu\left(Y_{k}^{\prime} \backslash X_{k}^{\prime}\right)$, откуда при $k \rightarrow \infty$ получаем $\mu^{*} \partial X=0$, а значит, и $\mu \partial X=0$. Әто согласно теореме 1 означает измеримость множества $X$. (Ограниченность множества $X$, которая требуется в условиях теоремь 1 , следует из включения $X \subset Y_{k}$ и ограниченности множества $Y_{k}$, как всякого измеримого множества.)

Далее, $X \backslash X_{k} \subset Y_{k} \backslash X_{k}, \quad Y_{k} \backslash X \subset Y_{k} \backslash X_{k}$, поэтому $\mu\left(X \backslash X_{k}\right) \leqslant$ $\leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad \mu\left(Y_{k} \backslash X\right) \leqslant \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right), \quad$ где $\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=0$, а следовательно, в силу аддитивности меры

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu X-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X\right)=0
$$
\end{lm}

Докажем теперь свойство $5^{\circ}$ меры.

$\triangleright$ Пусть $X$ - измеримое множество, $X \subset R^{n}, a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$, $X+a=\{x+a: x \in X\}$. Если $Q-n$-мерный куб с ребрами длины $h$ и параллельньми осям координат, то множество $Q+a$ также является кубом того же вида и, следовательно, измеримым множеством, причем (см. замечание 4)

$$
\mu(Q+a)=\mu Q=h^{n} .
$$

Для каждого натурального $k$ множества $X_{k}=s_{k}(X)+a, Y_{k}=$ $=S_{k}(X)+a$ измеримы, так как являются объединением конечного числа измеримых множеств вида $Q+a$, где $Q$ - куб ранга $k$, и

$$
\mu X_{k}=\mu s_{k}(X), \quad \mu Y_{k}=\mu S_{k}(X)
$$

ибо меры множеств $X_{k}$ и $Y_{k}$ равна сумме мер (как в формуле (\ref{3})), составляющих их кубов.

Поскольку

$$
X_{k} \subset X+a \subset Y_{k}
$$

И

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \mu\left(Y_{k} \backslash X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu Y_{k}-\mu X_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\mu S_{k}(X)-\mu s_{k}(X)\right)=0,
$$

то согласно лемме \ref{l1} множество $X+a$ измеримо и

$$
\mu(X+a)=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu X_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \mu s_{k}(X)=\mu X
$$

\begin{zam1}
\label{q3}
Рассмотрим $(n+1)$-мерное пространство $R^{n+1}$ как произведение $n$-мерного $R^{n}$ и числовой оси $R$ :

$$
R^{n+1}=R^{n} \times R
$$

Если $X \subset R^{n},[a, b] \subset R$, то множество $X \times[a, b]$ точек $\left(x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}, y\right),\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y \in[a, b]$, называется иилиндром с основанием $X$ (см. п. 40.2) и образующей $[a, b]$.

Можно доказать, что если $X$ - измеримое в смысле $n$-мерной меры множество, то цилиндр $X \times[a, b]$ измерим в смысле $(n+1)$ мерной меры и

\begin{equation}
\label{4}
\mu_{n+1}(X \times[a, b])=(b-a) \mu_{n} X
\end{equation}

\end{zam1}

\begin{yp}
\label{y1}
Доказать утверждения замечания \ref{q3} .
\end{yp}


$\textbf{42.2. Множества меры нуль.}$ Укажем два типа множеств, мера Жордана которых всегда равна нулю (на подобные множества нередко удается разбить границу рассматриваемых множеств и тем самым доказать их измеримость).

\begin{theorem}
График всякой непрерывной на компакте функции имеет меру Жордана, равную нулю.
\end{theorem}

$\triangleright$ Пусть $X \subset R^{n}, X$ - компакт, $y=f(x)$ - непрерывная на $X$ функция, $x \in X, y \in R$ и

$$
Y_{i}=\left\{(x, y): x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in X, y=f(x)\right\}
$$

\begin{figure}{h}
\centering\includegraphics[scale=0.3]{sinx.eps}
\label{void}
\end{figure}

\end{document}
