\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \setcounter{page}{1} \usepackage{expl3} \usepackage{titleps, amsmath} \usepackage{setspace} \usepackage{graphicx} % Пакет для добавления изображений \DeclareGraphicsExtensions{.png} % Форматы изображений \newtheorem{corollary}{Следствие} \usepackage{ucs} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry} \usepackage{indentfirst} \renewcommand{\baselinestretch}{1} \begin{document} %\thispagestyle{empty} \begin{center} {\large {\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\ ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\ Институт математики и информационных технологий\\ Кафедра информатики и математического обеспечения}} \end{center} \vfill \begin{center} {\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\ %\bigskip %{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\ \end{center} \bigskip \begin{flushright} \parbox{8cm} { \renewcommand{\baselinestretch}{1} \normalsize Выполнила:\ \\Киселева C.~A. группа \ 22101 \\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Руководитель практики:\\ к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\ %Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\ %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ %\end{flushright} Итоговая оценка:\\ %\begin{flushright} %<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\ %\end{flushright} %\begin{flushright} %\vspace{5mm} \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\ %\end{flushright} } \end{flushright} \vfill \begin{center} \large Петрозаводск -- 2023 \end{center} \newpage \tableofcontents \newpage \section{Описание работы} В ходе дисциплины "Учебная практика: компьютерные технологии в математике" выполнялись задачи осваивания инструментов набора и трансля- ции математических текстов с помощью издательской системы LaTeX, а также овладевания инструментами построения научных графиков с помощью системы Gnuplot. Помимо прочего были освоены следующие навыки: набор, трансляция и структура документа LaTeX; набор математических формул, команды математических символов; построение графических объ- ектов в документах LaTeX. Отчет о проделанной работе содержит результаты выполнения поставленных задач (Задание 1, Задание 2 и Задание 3) \subsection{Задание 1} Первое задание, предложенное в курсе, было направлено на знакомство с функционалом и работой с LaTeX. В нем мы должны были добавить оригинальный абзац текста,который содержал бы не менее одной группы и двух специальных символов. Затем транслировать исходный файл и получить документ в форматах dvi и postcript и pdf. Также к каждому заданию прилагаются скринкасты, что разъясняют и помогают в работе над индивидуальными заданиями. \subsection{Задание 2} В этом задании нужно было подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором(преподавателем) из Тома 1 или 2 по Математическому анализу. Всего давалось 3 страницы, которые нужно было представить ввиде .tex файла и затем компилировать в .pdf. Также прилагались следующие скринкасты: о наборе математических формул, о рубрикации текста и специальных абзацах, об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд. \subsection{Задание 3} С помощью интерпретатора команд - gnuplot нужно было построить изображение кривой и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. Также слдовало прослушать скринкасты о работе с gnuplot и о плавающих объектах в этом интерпретаторе. \newpage \section{Результаты работы} \subsection{Задание 2} и, следовательно, функция $f$ ограничена на отрезке $[a, b]$. Очевидно также, что в силу возрастания функции $f$ для любого разбиения $\tau=$ $=\left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ отрезка $[a, b]$ имеют место равенства $$ m_{k}=\inf_{x \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)=f\left(x_{k-1}\right), $$ \begin{equation} \label{1} \ M_{k}=\sup _{x \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)=f\left(x_{k}\right). \end{equation} Поэтому, заметив, что \begin{equation} \label{2} \ x_{k}-x_{k-1}=\Delta x_{k} \leqslant|\tau|, \quad k=1,2, \ldots, k_{\tau}, \end{equation} и что $x_{0}=a, x_{k_{\tau}}=b$, получим $$ S_{\tau}-s_{\tau}=\sum_{k=1}^{k_{\tau}}\left(M_{k}-m_{k}\right) \Delta x_{k} \underset{(\ref{1})}= \sum_{k=1}^{k_{\tau}}\left[f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right] \Delta x_{k} \underset{(\ref{2})}{\leqslant} $$ $$ \underset{(\ref{2})}{\leqslant}\left[\left(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)\right)+\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)+\ldots\right. $$ $$ \left.\ldots+\left(f\left(x_{k_{\tau}}\right)-f\left(x_{k_{\tau}-1}\right)\right)\right]|\tau|=[f(b)-f(a)]|\tau|. $$ Отсюда следует, что $\lim _{|\tau| \rightarrow 0}\left(S_{\tau}-s_{\tau}\right)=0$, и потому, согласно теореме 2, функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]. \triangleleft$ З а м е ч а н и е. Отметим, что монотонные на отрезке функции могут быть и разрывными. Так, например, функция $f(x)=\operatorname{sign} x$ монотонна и разрывна на любом отрезке, содержащем точку $x=0$. Поскольку же всякая монотонная функция, в частности, $f(x)=\operatorname{sign} x$, согласно теореме 4 , интегрируема, то отсюда следует, что существуют разрывные интегрируемые функции. \section*{\S 24. Свойства интегрируемых функций } \textbf{24.1. Основные свойства определенного интеграла.} Перечислим свойства определенного интеграла, вытекающие непосредственно из того, что он является пределом интегральных сумм. $1^{\circ}$ $\int_{a}^{b} d x= b-a. $ $\triangleright$ В данном случае подынтегральная функция тождественно равна 1 , и потому при любом разбиении $\tau=\left\{x_{j}\right\}_{j=0}^{j=j_{\tau}}$ все интегральные суммы Римана равны $b-a$ : $$ \sigma_{\tau}=\sum_{j=1}^{j_{\tau}} \Delta x_{j}=b-a $$ следовательно, $$ \int_{a}^{b} d x=\lim _{|\tau| \rightarrow 0} \sigma_{\tau}=b-a \ \triangleleft $$ $3^{\circ}$ Л и н н е й н о с т ь и н т е г р а л а. {\it Eсли функиии f и о интегрируемы на отрезке $[a, b]$, то при любых $\lambda \in R u \mu \in R$ функиия $\lambda f+ \mu g$ также интегрируема на отрезке $[a, b]$ и} \begin{equation} \label{3} \int_{a}^{b}[\lambda f(x)+\mu g(x)] d x=\lambda \int_{a}^{b} f(x) d x+\mu \int_{a}^{b} g(x) d x \end{equation} $\triangleright$ Каковы бы ни были разбиение $\tau=\left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ отрезка $[a, b]$ и точки $\xi_{k} \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right], k=1,2, \ldots, k_{\tau}$, будем иметь \begin{equation} \label{4} \sigma_{\tau}(\lambda f+\mu g)=\sum_{k=1}^{k_{\tau}}\left[\lambda f\left(\xi_{k}\right)+\mu g\left(\xi_{k}\right)\right] \Delta x_{k}= \end{equation} $$ =\lambda \sum_{k=1}^{k_{\tau}} f\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k}+\mu \sum_{k=1}^{k_{\tau}} g\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k}=\lambda \sigma_{\tau}(f)+\mu \sigma_{\tau}(g). $$ Поскольку при $|\tau| \rightarrow 0$ предел правой части этого равенства в силу интегрируемости функций $f$ и $g$ существует, то существует при этом условии и предел левой части $\lim _{|\tau| \rightarrow 0} \sigma_{\tau}(\lambda f+\mu g)$, что означает интегрируемость функции $\lambda f+\mu g$. Перейдя в равенстве $(\ref{4})$ к пределу при $|\tau| \rightarrow 0$, получим формулу $(\ref{3}). \triangleleft$ $3^{\circ}$ {\itЕсли $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$, то она интегрируема и на любом отрезке $\left[a^{*}, b^{*}\right] \subset[a, b]$.} $\triangleright$ Из интегрируемости функции $f$ на отрезке $[a, b]$ следует ее ограниченность на нем, а следовательно, и на отрезке $\left[a^{*}, b^{*}\right]$. Если $\tau^{*}=\left\{x_{j}^{*}\right\}_{j=0}^{j=j_{\tau}^{*}}$ - какое-либо разбиение отрезка $\left[a^{*}, b^{*}\right]$, то всегда, добавив к нему соответствующее конечное множество точек, лежащих на отрезках $[a, b]$, но уже вне отрезка $\left[a^{*}, b^{*}\right]$, можно получить разбиение $\tau=\left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}, k_{\tau} \geqslant j_{\tau^{*}}$, отрезка $[a, b]$ той же мелкости \begin{equation} \label{5} |\tau|=\left|\tau^{*}\right|. \end{equation} \begin{onehalfspace}Обозначив посредством $\omega_{k}(f)$ и $\omega_{j}^{*}(f)$ колебания функции $f$ соответственно на отрезках $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$ и $\left[x_{j-1}^{*}, x_{j}^{*}\right]$ и заметив, что $\sum_{k=1}^{k_{\tau}} \omega_{k}(f) \Delta x_{k}$ отличается от $\sum_{j=1}^{j_{\tau^{*}}} \omega_{j}^{*}(f) \Delta x_{j}^{*}, \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}, \Delta x_{j}^{*}=x_{j}^{*}=x_{j}^{*}-x_{j-1}^{*}$,\end{onehalfspace} на неотрицательные слагаемые вида $\omega_{k}(f) \Delta x_{k}$, соответствующие отрезкам $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$ разбиения $\tau$, лежащим вне отрезка $\left[a^{*}, b^{*}\right]$, получим \begin{equation} \label{6} 0 \leqslant \sum_{j=1}^{j_{\tau^{*}}} \omega_{j}^{*}(f) \Delta x_{j}^{*} \leqslant \sum_{k=1}^{k_{\tau}} \omega_{k}(f) \Delta x_{k} \end{equation} \begin{onehalfspace}Из интегрируемости функции $f$ на отрезке $[a, b]$, согласно следствию 1 теоремы 2 из п. 23.5, вытекает, что $\lim _{|\tau| \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{k_{\tau}} \omega_{k}(f) \Delta x_{k}=0$, поэтому в силу (\ref{5}) и (\ref{6}) $\lim _{\left|\tau^{*}\right| \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{j_{\tau^{*}}} \omega_{j}^{*}(f) \Delta x_{j}^{*}=0$, а это, согласно тому же следствию теоремы 2 п. 23.5 , и означает интегрируемость функции $f$ на отрезке $\left[a^{*}, b^{*}\right]$. \end{onehalfspace} $4^{\circ}$. А д д и т и в н о с т ь \ и н т е г р а л а.. {\it Если функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$ и $a