\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\setcounter{page}{1}
\usepackage{expl3}
\usepackage{titleps, amsmath}
\usepackage{setspace}
\usepackage{graphicx} % Пакет для добавления изображений
\DeclareGraphicsExtensions{.png} % Форматы изображений

\newtheorem{corollary}{Следствие}


\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}


\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения}}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

\parbox{8cm} {

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\normalsize

Выполнила:\ \\Киселева C.~A. группа \ 22101 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}
В ходе дисциплины "Учебная практика: компьютерные технологии в математике" выполнялись задачи осваивания инструментов набора и трансля-
ции математических текстов с помощью издательской системы LaTeX, а также овладевания
инструментами построения научных графиков с помощью системы Gnuplot. Помимо прочего
были освоены следующие навыки: набор, трансляция и структура документа LaTeX; набор
математических формул, команды математических символов; построение графических объ-
ектов в документах LaTeX. Отчет о проделанной работе содержит результаты выполнения
поставленных задач (Задание 1, Задание 2 и Задание 3)
\subsection{Задание 1}
 Первое задание, предложенное в курсе, было направлено на знакомство с функционалом и работой с LaTeX. В нем мы должны были добавить оригинальный абзац текста,который содержал бы не менее одной группы и двух специальных символов. Затем транслировать исходный файл и получить документ в форматах dvi и postcript и pdf. Также к каждому заданию прилагаются скринкасты, что разъясняют и помогают в работе над индивидуальными заданиями.
 
\subsection{Задание 2}
В этом задании нужно было подготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором(преподавателем) из Тома 1 или 2 по Математическому анализу. Всего давалось 3 страницы, которые нужно было представить ввиде .tex файла и затем компилировать в .pdf. Также прилагались следующие скринкасты: о наборе математических формул, о рубрикации текста и специальных абзацах, об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.

\subsection{Задание 3}
 С помощью интерпретатора команд - gnuplot нужно было построить изображение кривой и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. Также слдовало прослушать скринкасты о работе с gnuplot и о плавающих объектах в этом интерпретаторе.
\newpage \section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}


и, следовательно, функция $f$ ограничена на отрезке $[a, b]$. Очевидно также, что в силу возрастания функции $f$ для любого разбиения $\tau=$ $=\left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ отрезка $[a, b]$ имеют место равенства
$$
      m_{k}=\inf_{x \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)=f\left(x_{k-1}\right),
$$   
\begin{equation}
   \label{1} 
  \ M_{k}=\sup _{x \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right]} f(x)=f\left(x_{k}\right).
\end{equation} 

Поэтому, заметив, что
\begin{equation}
  \label{2}
   \ x_{k}-x_{k-1}=\Delta x_{k} \leqslant|\tau|, \quad k=1,2, \ldots, k_{\tau},
\end{equation}

и что $x_{0}=a, x_{k_{\tau}}=b$, получим
$$
S_{\tau}-s_{\tau}=\sum_{k=1}^{k_{\tau}}\left(M_{k}-m_{k}\right) \Delta x_{k} \underset{(\ref{1})}= \sum_{k=1}^{k_{\tau}}\left[f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right] \Delta x_{k} \underset{(\ref{2})}{\leqslant}
$$
$$
\underset{(\ref{2})}{\leqslant}\left[\left(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)\right)+\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)+\ldots\right.
$$
$$
\left.\ldots+\left(f\left(x_{k_{\tau}}\right)-f\left(x_{k_{\tau}-1}\right)\right)\right]|\tau|=[f(b)-f(a)]|\tau|.
$$
Отсюда следует, что $\lim _{|\tau| \rightarrow 0}\left(S_{\tau}-s_{\tau}\right)=0$, и потому, согласно теореме 2, функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]. \triangleleft$

З а м е ч а н и е. Отметим, что монотонные на отрезке функции могут быть и разрывными. Так, например, функция $f(x)=\operatorname{sign} x$ монотонна и разрывна на любом отрезке, содержащем точку $x=0$. Поскольку же всякая монотонная функция, в частности, $f(x)=\operatorname{sign} x$, согласно теореме 4 , интегрируема, то отсюда следует, что существуют разрывные интегрируемые функции.

\section*{\S 24. Свойства интегрируемых функций }
\textbf{24.1. Основные свойства определенного интеграла.} Перечислим свойства определенного интеграла, вытекающие непосредственно из того, что он является пределом интегральных сумм.

$1^{\circ}$ $\int_{a}^{b} d x= b-a.  $

$\triangleright$ В данном случае подынтегральная функция тождественно равна 1 , и потому при любом разбиении $\tau=\left\{x_{j}\right\}_{j=0}^{j=j_{\tau}}$ все интегральные суммы Римана равны $b-a$ :

$$
\sigma_{\tau}=\sum_{j=1}^{j_{\tau}} \Delta x_{j}=b-a
$$

следовательно,
$$
\int_{a}^{b} d x=\lim _{|\tau| \rightarrow 0} \sigma_{\tau}=b-a \ \triangleleft
$$

$3^{\circ}$ Л и н н е й н о с т ь  и н т е г р а л а. {\it Eсли функиии f и о интегрируемы на отрезке $[a, b]$, то при любых $\lambda \in R u \mu \in R$ функиия $\lambda f+ \mu g$ также интегрируема на отрезке $[a, b]$ и} 


\begin{equation}
 \label{3}
\int_{a}^{b}[\lambda f(x)+\mu g(x)] d x=\lambda \int_{a}^{b} f(x) d x+\mu \int_{a}^{b} g(x) d x   
\end{equation}


$\triangleright$ Каковы бы ни были разбиение $\tau=\left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ отрезка $[a, b]$ и точки $\xi_{k} \in\left[x_{k-1}, x_{k}\right], k=1,2, \ldots, k_{\tau}$, будем иметь


\begin{equation}
\label{4}
\sigma_{\tau}(\lambda f+\mu g)=\sum_{k=1}^{k_{\tau}}\left[\lambda f\left(\xi_{k}\right)+\mu g\left(\xi_{k}\right)\right] \Delta x_{k}= 
\end{equation}
$$
=\lambda \sum_{k=1}^{k_{\tau}} f\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k}+\mu \sum_{k=1}^{k_{\tau}} g\left(\xi_{k}\right) \Delta x_{k}=\lambda \sigma_{\tau}(f)+\mu \sigma_{\tau}(g). 
$$

Поскольку при $|\tau| \rightarrow 0$ предел правой части этого равенства в силу интегрируемости функций $f$ и $g$ существует, то существует при этом условии и предел левой части $\lim _{|\tau| \rightarrow 0} \sigma_{\tau}(\lambda f+\mu g)$, что означает интегрируемость функции $\lambda f+\mu g$. Перейдя в равенстве $(\ref{4})$ к пределу при $|\tau| \rightarrow 0$, получим формулу $(\ref{3}). \triangleleft$

$3^{\circ}$ {\itЕсли $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$, то она интегрируема и на любом отрезке $\left[a^{*}, b^{*}\right] \subset[a, b]$.}

$\triangleright$ Из интегрируемости функции $f$ на отрезке $[a, b]$ следует ее ограниченность на нем, а следовательно, и на отрезке $\left[a^{*}, b^{*}\right]$. Если $\tau^{*}=\left\{x_{j}^{*}\right\}_{j=0}^{j=j_{\tau}^{*}}$ - какое-либо разбиение отрезка $\left[a^{*}, b^{*}\right]$, то всегда, добавив к нему соответствующее конечное множество точек, лежащих на отрезках $[a, b]$, но уже вне отрезка $\left[a^{*}, b^{*}\right]$, можно получить разбиение $\tau=\left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}, k_{\tau} \geqslant j_{\tau^{*}}$, отрезка $[a, b]$ той же мелкости


\begin{equation}
\label{5}
|\tau|=\left|\tau^{*}\right|. 
\end{equation}


\begin{onehalfspace}Обозначив посредством $\omega_{k}(f)$ и $\omega_{j}^{*}(f)$ колебания функции $f$ соответственно на отрезках $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$ и $\left[x_{j-1}^{*}, x_{j}^{*}\right]$ и заметив, что $\sum_{k=1}^{k_{\tau}} \omega_{k}(f) \Delta x_{k}$ отличается от $\sum_{j=1}^{j_{\tau^{*}}} \omega_{j}^{*}(f) \Delta x_{j}^{*}, \Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}, \Delta x_{j}^{*}=x_{j}^{*}=x_{j}^{*}-x_{j-1}^{*}$,\end{onehalfspace}  на неотрицательные слагаемые вида $\omega_{k}(f) \Delta x_{k}$, соответствующие отрезкам $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$ разбиения $\tau$, лежащим вне отрезка $\left[a^{*}, b^{*}\right]$, получим


\begin{equation}
  \label{6}
0 \leqslant \sum_{j=1}^{j_{\tau^{*}}} \omega_{j}^{*}(f) \Delta x_{j}^{*} \leqslant \sum_{k=1}^{k_{\tau}} \omega_{k}(f) \Delta x_{k}
\end{equation}

\begin{onehalfspace}Из интегрируемости функции $f$ на отрезке $[a, b]$, согласно следствию 1 теоремы 2 из п. 23.5, вытекает, что $\lim _{|\tau| \rightarrow 0} \sum_{k=0}^{k_{\tau}} \omega_{k}(f) \Delta x_{k}=0$, поэтому в силу (\ref{5}) и (\ref{6}) $\lim _{\left|\tau^{*}\right| \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{j_{\tau^{*}}} \omega_{j}^{*}(f) \Delta x_{j}^{*}=0$, а это, согласно тому же следствию теоремы 2 п. 23.5 , и означает интегрируемость функции $f$ на отрезке $\left[a^{*}, b^{*}\right]$. \end{onehalfspace}

$4^{\circ}$. А д д и т и в н о с т ь \ и н т е г р а л а.. {\it Если функция $f$ интегрируема на отрезке $[a, b]$ и $a<c<b$, то}

\begin{equation}
\label{7}
\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x
\end{equation}

$\triangleright$ Если $\tau_{a}^{c}$ и $\tau_{c}^{b}$ - разбиения соответственно отрезков $[a, c]$ и $[c, b]$, то объединение этих разбиений $\tau=\tau_{a}^{c} \cup \tau_{c}^{b}$ является разбиением отрезка $[a, b]$, причем

\begin{equation}
\label{8}
\left|\tau_{a}^{c}\right| \leqslant|\tau|, \quad\left|\tau_{c}^{b}\right| \leqslant|\tau|
\end{equation}

Пусть $\sigma_{\tau_{a}^{c}}$ и $\sigma_{\tau_{c}^{b}}-$ какие-либо интегральные суммы Римана функции $f$, соответствующие разбиениям $\tau_{a}^{c}$ и $\tau_{c}^{b}$; тогда

\begin{equation}
\label{9}
\sigma_{\tau}=\sigma_{\tau_{a}^{c}}+\sigma_{\tau_{c}^{b}}
\end{equation}


- интегральная сумма Римана функции $f$ на отрезке $[a, b]$.

Согласно свойству $2^{\circ}$ из интегрируемости функции $f$ на отрезке $[a, b]$ следует ее интегрируемость на отрезках $[a, c]$ и $[c, b]$. Следовательно, интегральные суммы $\sigma_{\tau}, \sigma_{\tau_{a}^{c}}$ и $\sigma_{\tau_{c}^{b}}$ при условии, что мелкости указанных разбиений $\tau, \tau_{a}^{c}$ и $\tau_{c}^{b}$ стремятся к нулю, имеют конечные пределы - интегралы от функции по указанным отрезкам:
$$
\lim _{\left|\tau_{a}^{c}\right| \rightarrow 0} \sigma_{\tau_{a}^{c}}=\int_{a}^{c} f(x) d x, \quad \lim _{\left|\tau_{c}^{b}\right| \rightarrow 0} \sigma_{\tau_{c}^{b}}=\int_{c}^{b} f(x) d x, \quad \lim _{|\tau| \rightarrow 0} \sigma_{\tau}=\int_{a}^{b} f(x) dx.
$$

Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (\ref{9}) при условии $|\tau| \rightarrow 0$  (при этом в силу $(\ref{8}) \ \left|\tau_{a}^{c}\right| \rightarrow 0$ и $\mid \tau_{c}^{b} \rightarrow 0$ ), получим формулу (\ref{7}). $\triangleleft$
\bigskip

\subsection{Задание 3}
На данном графике предоставлены в полярной системе координат такие функции, как sin(4*t) и cos(2*t)
Они были построены в gnuplot так:

\par set polar
\par plot cos(2*t)
\par plot sin(4*t)

\begin{figure}[h] % Вствка изображения
\centering\includegraphics[scale=0.8]{file.png}
\caption{График, сделанный в gnuplot.}
\end{figure}

\end{document}
