\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\setcounter{page}{1}
\usepackage{expl3}
\usepackage{titleps, amsmath}

\usepackage{graphicx} % Пакет для добавления изображений
\DeclareGraphicsExtensions{.png} % Форматы изображений

\newtheorem{corollary}{Следствие}


\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

\parbox{8cm} {

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\normalsize

Выполнил:\ \\Кириенко В.С. группа \ 22101 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Готовая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}
\subsection{Задание 2}
\parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. 
(страницы берутся из Том 1, Том 2)
\parСкринкаст о наборе математических формул.
\parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах.
\parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.
\parВнимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены 
автоматически.

\subsection{Задание 3}
\parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых 
координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.
\parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй .
\parПлавающие объекты Скринкаст

\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}
Лабораторная работа была выполнена и был подготовлен документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором (Том 1, страницы 129-131). Ниже приведен
результат работы.

\newpage
и в то же время
$$|x^\prime-x| = |h| <\delta.$$
Ясно, что всякая равномерно непрерывная по отрезке функция непрерывна на нем: если в определении равномерной непрерывности зафиксировать точку x, то получится определение непрерывности в этой точке. Верно и обратное утверждение.

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\begin{theorem}[Кантора]
\textit{Функция, непрерывная на отрезке, равномерна непрерывна на нем.}
\end{theorem}
$\triangleright$ Докажем теорему от противного. Допустим, что существует непрерывная на некотором отрезке [a,b] функция f, которая, однако, на нем не равномерно непрерывна. Это означает (см. (7.22)), что существует такое $\xi_0>0$, что для любого $\delta>0$ найдутся такие точки $x\in [a,b]$ и $x^\prime\in[a,b]$, что $|x^\prime-x| <\delta$, но $|f(x^\prime)-f(x)|\ge\epsilon$.В частности, для $\sigma=1/n$ найдутся такие точки, обозначим их $x_n и x^\prime_n$, что 
\begin{equation}\label{eq1} 
|x^\prime_n-x_n|<\frac{1}{n}
\end{equation}
но
\begin{equation}\label{eq2} 
    |f(x^\prime_n)-f(x_n)|\ge\epsilon_0.
\end{equation}
Из последовательности точек ${x_n}$ в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность ${x_{n_k}}$. Обозначим ее предел $x_0$:

\begin{equation}\label{eq3} 
 \lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=x_0   
\end{equation}

Поскольку $a \leqslant x_{n_k} \leqslant b, k=1,2, \ldots$, то $a \leqslant x_0 \leqslant b$. Функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, поэтому
\begin{equation}\label{eq4} 
\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_k}\right) \underset{(\ref{eq3})}{=} f\left(x_0\right)
\end{equation}
Подпоследовательность $\left\{x_{n_k}^{\prime}\right\}$ последовательности $\left\{x_n^{\prime}\right\}$ также сходится в точке $x_0$, ибо
$$
\left|x_{n_k}^{\prime}-x_0\right| \leqslant\left|x_{n_k}^{\prime}-x_{n_k}\right|+\left|x_{n_k}-x_0\right| \underset{(\ref{eq1})}{<} \frac{1}{n_k}+\left|x_{n_k}-x_0\right| \underset{(\ref{eq3})}{\rightarrow} 0
$$
при $k \rightarrow \infty$. Поэтому
\begin{equation}\label{eq5} 
\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)=f\left(x_0\right)
\end{equation}
Из (\ref{eq4}) и (\ref{eq5}) следует, что
$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left[f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)-f\left(x_{n_k}\right)\right]=f\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)=0
$$
а это противоречит условию, что при всех $k=1,2, \ldots$ выполняется неравенство
$$
\left|f\left(x_{n_k}^{\prime}\right)-f\left(x_{n_k}\right)\right|_{(\ref{eq2})}^{\geqslant} \varepsilon_0>0
$$
Полученное противоречие доказывает теорему. $\lhd$

Условие равномерной непрерывности можно сфомулировать в терминах так называемых колебаний функции на отрезках.





Определение 3 . Пусть функция $f$ задана на отрезке $[a, b]$. Тогда величина
\begin{equation}\label{eq6} 
\omega(f ;[a, b])=\sup _{x, x^{\prime} \in[a, b]}\left|f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right|
\end{equation}
называется колебанием функции $f$ на отрезке $[a, b]$.
Из двух значений $f\left(x^{\prime}\right)-f(x)$ и $f(x)-f\left(x^{\prime}\right)$ одно неотрицательно и, следовательно, не меньше второго, поэтому величина верхней грани и в правой части равенства не изменится, если вместо абсолютной величины $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right|$ разности $f\left(x^{\prime}\right)-f(x)$ взять саму эту разность:
$$
\omega(f ;[a, b])=\sup _{x, x^{\prime} \in[a, b]}\left(f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right) .
$$
Справедливо следующее утверждение.
Для того чтобы функция $f$ была равномерно непрерывна на отрезке $[a, b]$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ существовало такое $\delta>0$, что для любого отрезка $\left[x, x^{\prime}\right] \subset[a, b]$ такого, что $0<x^{\prime}-x<\delta$, выполнялось неравенство
\begin{equation}\label{eq7} 
\omega\left(f ;\left[x, x^{\prime}\right]\right)<\varepsilon
\end{equation}

$\triangleright$ Действительно, поскольку $x, x^{\prime} \in\left[x, x^{\prime}\right]$, то из неравенства (\ref{eq7}) следует, что $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right|<\varepsilon$, а поэтому выполняется утверждение $(7.22)$.

Обратно, если справедливо утверждение $(7.22)$, то для любого $\varepsilon>$ $>0$ найдется такое $\delta>0$, что для любых двух точек $x$ и $x^{\prime}$ отрезка $[a, b]$, удовлетворяющих условию $\left|x^{\prime}-x\right|<\delta$, имеет место неравенство $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f(x)\right|<\varepsilon / 2$. В частности, это неравенство выполняется и для всех таких точек $x, x^{\prime} \in[a, b]$, для которых $0<x^{\prime}-x<\delta$. Но для любых двух точек $\xi$ и $\eta$ отрезка $\left[x, x^{\prime}\right]$ выполняется, очевидно, неравенство $0<|\eta-\xi|<x^{\prime}-x<\delta$, а следовательно, и неравенство $|f(\eta)-f(\xi)|<\varepsilon / 2$. Поэтому для любого отрезка $\left[x, x^{\prime}\right]$ такого, что $0<x^{\prime}-x<\delta$, имеем
$$
\omega\left(f ;\left[x, x^{\prime}\right]\right)=\sup _{\xi, \eta \in\left[x, x^{\prime}\right]}|f(\eta)-f(\xi)| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon .
$$
Утверждение доказано. $\lhd$


§ 8. Непрерывность элементарных функций


8.1. Многочлены и рациональные функции.


\begin{theorem}
    Многочлен непрерывен на всей числовой оси.
\end{theorem}
$\triangleright$ Действительно, во-первых, постоянная на всей числовой оси функция непрерывна во всех точках (см. свойство $3^{\circ}$ пределов функций
в п. 6.7); во-вторых, функции $x^k, k=1,2, \ldots$, также непрерывны на всей числовой оси (см. пример в п. 7.3), а любой многочлен $P_n(x)=$ $=a_0+a_1 x+\ldots+a_n x^n$ является линейной комбинацией функций 1 , $x, x^2, \ldots, x^n$ с коэффициентами $a_0, a_1, \ldots, a_n$, поэтому, согласно следствию из свойства $6^{\circ}$ пределов функции в п. 6.7 , он непрерывен на всей числовой оси. $\triangleleft$
\begin{theorem}

Рациональная функция $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)-$ многочлены, непрерывна во всех точках числовой оси, в которых $Q(x) \neq 0$.
\end{theorem}
$\triangleright$ Это сразу следует из непрерывности многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ на всей числовой оси и непрерывности частного непрерывных функций во всех точках, в которых знаменатель не обращается в нуль (см. следствие из свойства $6^{\circ}$ пределов функций в п. 6.7).$\lhd$
8.2. Показательная и логарифмическая функции. Перечислим основные свойства степеней $a^r, a>0$, с рациональными показателями $r \in Q$ (см. п. 2.1).
1. Пусть $r_1<r_2$. Если $a>1$, то $a^{r_1}<a^{r_2}$, a если $a<1$, mo $a^{r_1}>a^{r_2}$.
$2^{\circ} \cdot a^{r_1} a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$.
$3^{\circ} \cdot\left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1 r_2}$.
Эти свойства доказываются в курсе элементарной математики в предположении существования и однозначной определенности $a^r$ для любого рационального $r, a>0$, а это было доказано в п. 7.3.
Вспомним еще, что $a^0=1$ и что $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$.
Из свойства $1^{\circ}$ вытекает, что для любого $r \in Q$ выполняется неравенство $a^r>0$. В самом деле, если $a \geqslant 1$ и $r \geqslant 0$, то по свойству $1^{\circ}$ $a^r \geqslant a^0=1>0$. Отсюда следует, что $a^{-r}=\frac{1}{a^r}>0$. Аналогично рассматривается случай $0<a<1$.

Нашей ближайшей задачей является определение значения выражения $a^x$ для любого действительного числа $x$ и $a>0$. Затем будут изучены свойства функции $a^x$.
Лемма 1. Для любого $a>0$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{eq8} 
\lim _{n \rightarrow \infty} a^{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a^{-1 / n}=1 .
\end{equation}
Следствие. Для любого $a>0$ имеет место равенство
\begin{equation}\label{eq9} 
\lim _{r \rightarrow 0, r \in Q} a^r=1
\end{equation}
$\triangleright$ Пусть сначала $a>1$. Для любого $n \in N$ положим
\begin{equation}\label{eq10} 
x_n=a^{1 / n}-1
\end{equation}
\newpage

\subsection{Задание 3}
С помощью интерпретатора команд gnuplot было построено изображение графика функции sin(x) - 2*cos(x). После чего изображение данного графика было размещено в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.

\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]
                  {plot.png}
                  \caption{График функции $sin(x) - 2*cos(x)$}
                  \label{fig:plot}
                  \end{figure}

\end{document}