а\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\setcounter{page}{1}
\usepackage{expl3}
\usepackage{titleps, amsmath}


\usepackage{graphicx} % Пакет для добавления изображений
\DeclareGraphicsExtensions{.png} % Форматы изображений

\newtheorem{corollary}{Следствие}


\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

\parbox{8cm} {

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\normalsize

Выполнил:\ \\Дорошин Г.Л. группа \ 22101 \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}
Готовая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
% \newpage
\section{Описание работы}


\subsection{Задание 2}
\parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2)
\parСкринкаст о наборе математических формул.
\parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах.
\parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.
\parВнимание! Разделы, если они есть, и нумерация формул должны быть оформлены автоматически.
\par \quad
\par Выполнение 2 лабораторной работы делится на 2 части:
    \begin{enumerate} 
  \item 
    Обработка текста:
     \begin{enumerate} 
        \item Копирование текста со страниц
        \item Оформление страниц
        \item Работа с формулами
    \end{enumerate} 
  \item Выполнение лабораторной работы:
     \begin{enumerate} 
        \item Вставка обработанного тескта в файл
        \item Создание автоматической нумерации и ссылок на формулы, как показано в скринкасте
        \item Оформление теорем, как показано в скринкасте
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\par

\subsection{Задание 3}
\parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.
\parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй .
\parПлавающие объекты Скринкаст
\par \quad
\parВыполнение 3 лабораторной работы делится на 2 части:
\begin{enumerate} 
  \item 
    Создание изображения в gnuplot:
     \begin{enumerate} 
        \item Создание файла с координатами точек: "test.dat"
        \item Размещение файла в корне программы
        \item Оформление заголовока над графиком и подписей координат:\par set title "Latex task 3"\:font "Times-Roman,35"\par set ylabel "Y-AXIS"\:font "Times-Italic,32"\par set xlabel "X-AXIS"\:font "Helvetica,20"
        \item Построение графика:\par plot "test.dat"\:using 1:2 smooth bezier.
        \item Сохранение изображения
    \end{enumerate} 
  \item
  Размещение графика в документе, созданном ранее в лабораторной 2:
    \begin{enumerate} 
        \item Конвертирование изображение в формат eps
        \item Размещение изображения в том же месте, где находится tex файл
        \item Вставка изображения в файл, как показано в скринкасте
        \item Добавление ссылки на изображение, как показано в скринкасте 
    \end{enumerate} 

\end{enumerate}

\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}
Выполнены все пункты из 1 и 2 части. Ниже приведен результат выполения лабораторной работы:
\par \quad
% \newpage

\newtheorem{theorem}{Лемма}


Из (33.7) видно, что расстояние (33.2) между точками $M_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $M_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ есть не что иное, как длина вектор а с началом в одной из этих точек и концом в другой, т. е. длина разности (33.5) векторов $\mathbf{a}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ и $\mathbf{b}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ :
\begin{equation}
\label{33.8}
\mu\left(M_{1}, M_{2}\right)=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|
\end{equation}
Нам понадобится понятие $n$-мерного пространства $(n-$ натуральное число), элементами $x$ которого являются упорядоченные множества $n$ действительных чисел

$$
x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \quad x_{k} \in R, \quad k=1,2, \ldots, n .
$$

Эти элементы по аналогии с обычным пространством можно рассматривать и как точки, и как векторы ( $n$-мерного пространства). В первом случае для них определяется понятие расстояния, во втором соответствующие векторные операции.

Линейная комбинация с коэффициентами $\lambda$ и $\mu$ двух элементов $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ и $y=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ по аналогии с формулой (33.3) определяется равенством

\begin{equation}
\label{33.9}
\lambda x+\mu y \stackrel{\text { def }}{=}\left(\lambda x_{1}+\mu y_{1}, \lambda x_{2}+\mu y_{2}, \ldots, \lambda x_{n}+\mu y_{n}\right)
\end{equation}

В частности,

\begin{equation}
\label{33.10}
x+y=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right), \\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{33.11}
x-y=\left(x_{1}-y_{1}, x_{2}-y_{2}, \ldots, x_{n}-y_{n}\right), \\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{33.12}
\lambda x=\left(\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \ldots, \lambda x_{n}\right) .
\end{equation}

Скалярное произведение элементов $x$ и $y$ определяется равенством

\begin{equation}
\label{33.13}
(x, y) \stackrel{\text { def }}{=} x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\ldots+x_{n} y_{n} .
\end{equation}

Подчеркнем, что в случае $n=1,2,3$ формулы (\ref{33.9}) и (\ref{33.13}) доказываются с помощью свойств геометрии трехмерного пространства, а в случае $n>3$ они принимаются за определение.

Определение 1. Множество всех упорядоченных систем  \\ $x=$$=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \quad n$ действительных чисел, для которых определены линейные комбинации (\ref{33.9}) и скалярное произведение (\ref{33.13}), называется n-мерным арифметическим евклидовым векторным пространством и обозначается $R^{n}$. Его элементы $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ называются векторами, а числа $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ - их координатами.

Отметим, что для простоты записи векторы в $n$-мерном пространстве при произвольном $n$ обычно обозначаются светлым шрифтом.

Вектор $0=(0,0, \ldots, 0)$ называется нулевым вектором.

Для любого вектора $x$ вектор $-x \stackrel{\text { def }}{=}(-1) x$ называется противоположным вектору $x$. Очевидно, что $x+(-x)=0$. 

Скалярное произведение (\ref{33.13}) векторов пространства $R^{n}$ имеет следующие свойства.

$1^{\circ}$. Симметричность: $(x, y)=(y, x)$.

$2^{\circ}$. Линейность: $(\lambda x+\mu y, z)=\lambda(x, z)+\mu(y, z)$.

$3^{\circ} .(x, x) \geqslant 0$.

$4^{\circ}$. Если $(x, x)=0$, то $x=0$.

Все это верно для любых $x \in R^{n}, y \in R^{n}, z \in R^{n}$ и $\lambda \in R, \mu \in R$. Свойства $1^{\circ}-4^{\circ}$ непосредственно следуют из определения (\ref{33.13}).

Длина $|x|$ вектора $x$ пространства $R^{n}$ по аналогии с формулой (33.7) определяется равенством

\begin{equation}
\label{33.14}
|x| \stackrel{\text { def }}{=} \sqrt{(x, x)}
\end{equation}

следовательно,

\begin{equation}
\label{33.15}
|x|_{(33.13)}^{=} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}} \text {. }
\end{equation}

Очевидно, что длина $|x|$ вектора $x$ равна нулю тогда и только тогда, когда $x=0$.

Длина вектора обладает тем свойством, что для любого числа $\lambda$ имеет место равенство

\begin{equation}
\label{33.16}
|\lambda x|=|\lambda||x|
\end{equation}

В частности, $|-x|=|x|$
\begin{theorem}
Для скалярного произведения векторов $x \in R^{n}$ и $y \in R^{n}$ справедливо неравенство
\end{theorem}
\begin{equation}
\label{33.17}
|(x, y)| \leqslant|x \| y|
\end{equation}

Это неравенство называется неравенством Коии-Шварца*).

$\triangleright$ Если $x=0$, то неравенство (\ref{33.17}) очевидно, так как обе части обращаются в нуль.

Пусть $x \neq 0$. Для любого $t \in R$ согласно свойству $3^{\circ}$ скалярного произведения выполняется неравенство

\begin{equation}
\label{33.18}
(t x+y, t x+y) \geqslant 0 .
\end{equation}

$\mathrm{C}$ другой стороны, в силу $1^{\circ}$ и $2^{\circ}$

\begin{equation}
\label{33.19}
(t x+y, t x+y)=(x, x) t^{2}+2 t(x, y)+(y, y)
\end{equation}

поэтому

$$
(x, x) t^{2}+2 t(x, y)+(y, y)\underset{(33.18),(33.19)}{\geqslant} 0
$$

где из условия $x \neq 0$ согласно свойству $4^{\circ}$ имеем $(x, x) \neq 0$. Но если квадратный трехчлен неотрицателен, то его дискриминант неположителен:

$$
(x, y)^{2}-(x, x)(y, y) \leqslant 0
$$

а это неравенство равносильно неравенству (\ref{33.17}).

*) Г. Шварц (1843-1921) - немецкий математик. Сле дс т в ие 1. Для любых векторов $x \in R^{n}$ и $y \in R^{n}$ выполняется неравенство

\begin{equation}
\label{33.20}
|x+y| \leqslant|x|+|y|
\end{equation}

$\triangleright$ Действительно,

$$
\begin{aligned}
&|x+y| \underset{(33.14)}{=} \sqrt{(x+y, x+y)} \underset{1^{\circ}, 2^{\circ}}{ }=\sqrt{(x, x)+2(x, y)+(y, y)} \underset{(33.14),(33.17)}{\leqslant} \\
& \leqslant \sqrt{|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}} \leqslant \sqrt{(|x|+|y|)^{2}}=|x|+|y| . \triangleleft
\end{aligned}
$$

В координатной записи неравенства (\ref{33.17}) и (\ref{33.20}) имеют вид

$$
\begin{aligned}
& \left|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}}, \\
& \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right)^{2}} \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}} .
\end{aligned}
$$

Следст в ие 2. Для любых векторов $x \in R^{n}$ и $y \in R^{n}$ выполняется неравенство

\begin{equation}
\label{33.21}
|| x|-| y|| \leqslant|x-y| \text {. }
\end{equation}

$\triangleright$ Это неравенство является непосредственным следствием неравенства (\ref{33.20}). В самом деле,

$$
|x|=|x-y+y| \underset{(33.20)}{\leqslant}|x-y|+|y|
$$

поэтому $|x|-|y| \leqslant|x-y|$. Аналогично, $|y|-|x| \leqslant|y-x|=|x-y|$. Из двух последних неравенств и следует неравенство (\ref{33.21}).

Два вектора, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными. Ненулевые ортогональные векторы называются перпендикулярными.

Если вектор $e_{i}$ имеет все координаты равными нулю, кроме $i$-й, которая равна единице, то множество векторов $x=e_{i} t,-\infty<t<$

ного пространства, $i=1,2, \ldots, n$, а упорядоченное множество векто-


Векторы канонического базиса ортогональны друг другу, и длины их равны единице.

Всякое упорядоченное множество $n$ единичных векторов $e_{i}^{\prime}, i=$ $=1,2, \ldots, n$ (т. е. длины которых равны единице), попарно ортогональны друг другу:

$$
\left|e_{i}\right|=1, \quad\left(e_{i}, e_{j}\right)=0, \quad i \neq j, \quad i, j=1,2, \ldots, n,
$$

называется базисом пространства или, более полно, ортонормированным базисом.

\newpage

\subsection{Задание 3}
Выполнены все пункты из 1 и 2 части. Ниже представлено изображение кривой, построенной по точкам:


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{task3_curve.eps}
\caption{График кривой, построенной по точкам}
\label{t3i1}
\end{figure}
\newpage

\newpage
\end{document}
