\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[version=4]{mhchem}
\usepackage{stmaryrd}
\setcounter{page}{1}
\usepackage{expl3}
\usepackage{titleps, amsmath}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx} 
\DeclareGraphicsExtensions{.png}

\newtheorem{corollary}{Следствие}


\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\


\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

\parbox{8cm} {

\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\normalsize

Выполнил:\ \\Чуркина Я.И. группа \ 22101 \\
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\

Итоговая оценка:\\
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\


}

\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2023
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}

\subsection{Задание 2}
\parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2)
\parСкринкаст о наборе математических формул.
\parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах.
\parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.


\subsection{Задание 3}
\parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2.
\parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй .
\parПлавающие объекты Скринкаст

\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}
Лабораторная работа была выполнена и был подготовлен документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором (Том 1, страницы 126-128). Ниже приведен результат работы 

\newpage

Из непрерывности функции $f$  в точке $x^*$ следует, что
$$\lim \limits_{s \to \infty} f(x_{n_{k_{s}}}) = f(x^*)$$
Но предел подпоследовательности $\{f(x_{n_{k_{s}}})\}$ последовательности $y_n = f(x_n), n = 1,2, \ldots$, равен пределу всей последовательности, поэтому
$$f(x^*) = \lim \limits_{s \to \infty} f(x_{n_{k_{s}}}) = \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) \underset{(7.14)}{=} \lim \limits_{n \to \infty} y_n = y_0. $$
А так как $y_0\underset{(7.14)}{=}f (x_0)$, то получилось, что $f(x^*) = f(x_0)$. Это же в силу взаимной однозначности отображения $f$ противоречит неравенству (7.16). Следовательно,
$$\lim \limits_{n \to \infty} f^{-1}(y_n) = f^{-1}(y_0)$$
т.е. обратная функция $f^{-1}$ непрерывна в произвольно выбранной точке $y_0 \in [A,B]$.$\triangleleft$
    \newtheorem{theorem}{Теорема}
    \begin{theorem}
        \textit{Если функция $f$ непрерывна и строго возрастает на интвервале (a,b),
        \begin{equation}\label{eq1}
             A = \lim\limits_{x \to a} f(x), B = \lim\limits_{x \to b} f(x) 
        \end{equation}
        то $f((a,b)) = (A,B)$ и обратная функция $f^{-1}$ является однозначной строго возрастающей непрерывной на интервале $(A,B)$ функцией.}
        $\triangleright$
    \end{theorem}
Поскольку из (\ref{eq1}) следует, что
    \begin{equation}
        A = \underset{(a,b)}{\inf} f(x), B = \underset{(a,b)}{\sup} f(x) 
    \end{equation}
(см. теорему 4 из п. 6.11), то для любого $x$ $\in$ (a,b) в силу опредления нижней f и верхней граний функции имеет место равенство
$$A = \inf f \leqslant f(x) \leqslant f = B$$
Более того, для всех $x$, $a < x < b$, выполняется строгое неравенство $A < f(x) < B$. В самом деле, если бы нашлась, например, такая точка $x \in (a,b)$, что $f(x) = A$, то для любой точки $x^\prime$, $a < x^\prime < x$, в силу строгого возрастания функции $f$ имело бы место неравенство
$$f(x^\prime) < f(x) = A = \underset{(a,b)}{\inf} f(x)$$
что противоречит определению нижней грани. Итак,
    \begin{equation}
        f((a,b)) \subset (A,B) 
    \end{equation}
\par %новый абзац
Пусть теперь
$$A = \inf f < y < \sup f = B$$ 
Тогда согласно определению нижней и верхней границы функции существуют такие точки $x_1 \in (a,b)$ и $x_2 \in (a,b)$, что
$$A < f(x_1) < y < f(x_2) < B$$
\newpage % новая стр

\noindent %нет нового абзаца
В силу строгого возрастания и непрерывности сужения функции $f$ на отрезок $[x_1,x_2]$ обратная для него функция определена и непрерывна на отрезке $[f(x_1),f(x_2)]$ (см.теорему 3). А тогда, во-первых, существует такая точка $x \in (x_1,x_2) \subset (a,b)$, что $f(x) = y$ и, следовательно, $f((a,b)) = (A,B)$, а во-вторых, сужение на отрезок $[f(x_1),f(x_2)]$ обратной функции $f^{-1}$ непрерывно во внутренней точки у отрезка $[f(x_1),f(x_2)]$, а поэтому в этой точке непрерывна и обратная функция $f^{-1}$, рассматриваемая на всем множестве своего определения, т.е. на интервале $(A,B)$.
\par %абзац
Отметим, что последнее заключение следует из того, что если сужение какой-либо функции на множество, содержащее некоторую окрестность заданной точки, непрерывно в этой точке, то и сама функция, рассматриваемая на всем множестве своего определения, непрерывна в указанной точке, так как непрерывность в точке зависит лишь от значений функции в достаточно малой окрестности этой точки.$\triangleleft$
\par
Отметим, что в теореме 4 интервалы $(a,b)$ и $(A,B)$ могут быть как конечными, так и бесконечными: $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, $-\infty \leqslant A <$\\
$<B \leqslant +\infty$.
\par
Утверждения, аналогичные теоремам 3 и 4, имеют место и для строго убывающей функции.
\par
П\,р\,и\,м\,е\,р\,. Функция $y = x^{n}, n \in$ \textbf{\textit{N}} строго возрастает на полуоси другая $x > 0$ и непрерывна на всей числовой оси. Действительно, если $0 <$ $< x_1 < x_2$, то умножая \textit{n} раз это неравенство само на себя, получим $0 < x_{1}^{n} < x_{2}^{n};$ это и означает строгое возрастание рассматриваемой функции. Для доказательства ее непрерывности заметим, что функция $y = x$ непрерывна на всей числовой оси. В самом деле, каковы бы  ни были $x_0 \in \textbf{\textit{R}}$ и $\varepsilon > 0$, возьмем $\delta = \varepsilon$. Если $y_0 = x_0$, то $\Delta y = y - y_0 = x - x_0 = \Delta x$. Поэтому при $|\Delta x| < \delta$ получим $|\Delta y| = |\Delta x| < \delta = \varepsilon$, т.е. $\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$, а это и является условием непрерывности функции $y = x$. Функция же $y = x^{n}$ непрерывна на всей числовой оси (в частности, при $x > 0$)  как произведение \textit{n} непрерывных функций $y = x$.
\par
Из того, что $\lim \limits_{x \to 0} x^{n} = 0$ и $\lim \limits_{x \to +\infty} x^{n} = +\infty$, следует согласно теореме 4, что множество заданных значений функции $y = x^{n}$ на интервале\\ $(0, +\infty)$ также является интервалом $(0, +\infty)$. Отсюда согласно той же теореме вытекает, что обратная функция $x =\sqrt[\textit{n}]{y}$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(0,+\infty)$. Поэтому, в частности, из любого положительного числа  можно извлечь положительный корень \textit{n}-й степени, и притом единственный, а следовательно, для любого рационального числа \textit{r} однозначно определена степень $a^{r}$, $a > 0$,  такая, что $a^{r} > 0$ (см. п. 2.1)
\par
З\,а\,м\,е\,ч\,а\,н\,и\,е. Аналоги теорем 3 и 4 имеют место и для функций, строго монотонных и непрерывных на конечных или бесконечных
\newpage

\noindent 
полуинтервалов вида $[a,b)$ и $(a,b]$. Их формулировка и доказательство по мере потребности представляются читателю
\par
{\bf7.4 Равномерная непрерывность.} Если функция $f$ непрерывна на отрезке, то это означает, что любой точки $x$ этого отрезка и для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется такое число $\delta > 0$ (зависящее от точки $x$ и числа $\varepsilon$), что для всех точек $x^\prime$ отрезка, для которых
    \begin{equation}\label{eq2}
        |x^\prime - x| < \delta
    \end{equation}
выполняеся неравенство
    \begin{equation}\label{eq3}
        |f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon
    \end{equation}
Если число $\delta$ можно выбратть не зависящим от точки $x$ так, чтобы при выполнении условия (\ref{eq2}) выполнялось условие (\ref{eq3}), то функция  $f$ называется \textit{равномерно непрерывной}. Сформулируем определение этого важного понятия более подробно.
\par
О\,п\,р\,е\,д\,е\,л\,е\,н\,и\,е\, 2. Функция $f$, заданная на отрезке $[a,b]$ называется \textit{равномерно непрерывной на нем}, если для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для любых двух точек $x \in [a,b]$ и $x^\prime \in [a,b]$ таких, что $|x^\prime - x| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon$.
\par
В символической записи определение непрерывности функции на отрезке выглядит следующим образом:
$$\forall x\,\,\,\, \forall\varepsilon > 0 \,\,\,\, \forall\delta > 0\,\,\,\,\, \forall x^\prime,\,\,\,\, |x^\prime - x| < \delta: \,\,\, |f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon,$$
а опредление равномерной непрерывности выглядит так:
    \begin{equation}
          \forall\varepsilon > 0 \,\,\,\, \forall\delta > 0\,\,\,\,\, \forall x^\prime,x\,\,\,\, |x^\prime - x| < \delta: \,\,\, |f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon, 
    \end{equation}
\par
Здесь точки $x$ и $x^\prime$ принадлежат отрезку, на котором задана функция $f$
\par
П\,р\,и\,м\,е\,р\,ы.\,1. Функция $f(x) = x$ равномерно непрерывна на всей числовой оси $\textbf{R}$. Действительно, если задано $\varepsilon > 0$, то, выбрав $\delta = \varepsilon$, получим, что для любых точек $x$ и $x^\prime$ таких, что $|x^\prime - x| < \delta$, выполняется неравенство
$$|f(x^\prime) - f(x)| = |x^\prime - x| < \delta = \varepsilon,$$
т.е. условия определения 1 выполнены
\par
2.Функция $f(x) = x^2$ не равномерно непрерывна на всей числовой оси $\textbf{R}$.
\par
Это следует из того, что для любого $h \neq 0$ имеет место
    \begin{equation}\label{eq4}
        \lim \limits_{x \to \infty} [f(x + h) - f(x)] = \lim \limits_{x \to \infty} [(x + h)^2 - x^2] = \lim \limits_{x \to \infty} (2hx + h^2) = \infty.
    \end{equation}
Поэтому, если задано $\varepsilon > 0$, то, каково бы ни было $\delta > 0$, зафиксировав $h \neq 0, |h| < \delta$, можно в силу (\ref{eq4}) так выбрать $x$, что для точек $x^\prime = x + h$ и $x$ будем иметь
$$|f(x^\prime) - f(x)| > \varepsilon$$
\newpage


\subsection{Задание 3}
С помощью интерпретатора команд gnuplot было построено изображение графика функции $y=sin(x)-cos(x)$. После чего изображение данного графика было размещено в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. Ниже представлен график.

\begin{figure}[h] % Вствка изображения
\centering\includegraphics[scale=0.3]{image.png}
\caption{График функции $y = sin(x) - cos(x)$}
\end{figure}

\end{document}
