\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage[version=4]{mhchem} \usepackage{stmaryrd} \setcounter{page}{1} \usepackage{expl3} \usepackage{titleps, amsmath} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \DeclareGraphicsExtensions{.png} \newtheorem{corollary}{Следствие} \usepackage{ucs} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry} \usepackage{indentfirst} \renewcommand{\baselinestretch}{1} \begin{document} \thispagestyle{empty} \begin{center} \renewcommand{\baselinestretch}{1} {\large {\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\ ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\ Институт математики и информационных технологий\\ Кафедра информатики и математического обеспечения } } \end{center} \vfill \begin{center} {\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\ \end{center} \bigskip \begin{flushright} \parbox{8cm} { \renewcommand{\baselinestretch}{1} \normalsize Выполнил:\ \\Чуркина Я.И. группа \ 22101 \\ \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ Руководитель практики:\\ к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\ \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\ Итоговая оценка:\\ \rule{55mm}{.3pt}\\ \mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\ } \end{flushright} \vfill \begin{center} \large Петрозаводск -- 2023 \end{center} \newpage \tableofcontents \newpage \section{Описание работы} \subsection{Задание 2} \parПодготовить документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором. (страницы берутся из Том 1, Том 2) \parСкринкаст о наборе математических формул. \parСкринкаст о рубрикации текста и специальных абзацах. \parСкринкаст об оформлении новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд. \subsection{Задание 3} \parС помощью интерпретатора команд gnuplot построить изображение кривой в декартовых координатах и разместить его в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. \parСкринкасты о работе с gnuplot: Первый, Второй . \parПлавающие объекты Скринкаст \section{Результаты работы} \subsection{Задание 2} Лабораторная работа была выполнена и был подготовлен документ, содержащий математический текст, предоставленный инструктором (Том 1, страницы 126-128). Ниже приведен результат работы \newpage Из непрерывности функции $f$ в точке $x^*$ следует, что $$\lim \limits_{s \to \infty} f(x_{n_{k_{s}}}) = f(x^*)$$ Но предел подпоследовательности $\{f(x_{n_{k_{s}}})\}$ последовательности $y_n = f(x_n), n = 1,2, \ldots$, равен пределу всей последовательности, поэтому $$f(x^*) = \lim \limits_{s \to \infty} f(x_{n_{k_{s}}}) = \lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) \underset{(7.14)}{=} \lim \limits_{n \to \infty} y_n = y_0. $$ А так как $y_0\underset{(7.14)}{=}f (x_0)$, то получилось, что $f(x^*) = f(x_0)$. Это же в силу взаимной однозначности отображения $f$ противоречит неравенству (7.16). Следовательно, $$\lim \limits_{n \to \infty} f^{-1}(y_n) = f^{-1}(y_0)$$ т.е. обратная функция $f^{-1}$ непрерывна в произвольно выбранной точке $y_0 \in [A,B]$.$\triangleleft$ \newtheorem{theorem}{Теорема} \begin{theorem} \textit{Если функция $f$ непрерывна и строго возрастает на интвервале (a,b), \begin{equation}\label{eq1} A = \lim\limits_{x \to a} f(x), B = \lim\limits_{x \to b} f(x) \end{equation} то $f((a,b)) = (A,B)$ и обратная функция $f^{-1}$ является однозначной строго возрастающей непрерывной на интервале $(A,B)$ функцией.} $\triangleright$ \end{theorem} Поскольку из (\ref{eq1}) следует, что \begin{equation} A = \underset{(a,b)}{\inf} f(x), B = \underset{(a,b)}{\sup} f(x) \end{equation} (см. теорему 4 из п. 6.11), то для любого $x$ $\in$ (a,b) в силу опредления нижней f и верхней граний функции имеет место равенство $$A = \inf f \leqslant f(x) \leqslant f = B$$ Более того, для всех $x$, $a < x < b$, выполняется строгое неравенство $A < f(x) < B$. В самом деле, если бы нашлась, например, такая точка $x \in (a,b)$, что $f(x) = A$, то для любой точки $x^\prime$, $a < x^\prime < x$, в силу строгого возрастания функции $f$ имело бы место неравенство $$f(x^\prime) < f(x) = A = \underset{(a,b)}{\inf} f(x)$$ что противоречит определению нижней грани. Итак, \begin{equation} f((a,b)) \subset (A,B) \end{equation} \par %новый абзац Пусть теперь $$A = \inf f < y < \sup f = B$$ Тогда согласно определению нижней и верхней границы функции существуют такие точки $x_1 \in (a,b)$ и $x_2 \in (a,b)$, что $$A < f(x_1) < y < f(x_2) < B$$ \newpage % новая стр \noindent %нет нового абзаца В силу строгого возрастания и непрерывности сужения функции $f$ на отрезок $[x_1,x_2]$ обратная для него функция определена и непрерывна на отрезке $[f(x_1),f(x_2)]$ (см.теорему 3). А тогда, во-первых, существует такая точка $x \in (x_1,x_2) \subset (a,b)$, что $f(x) = y$ и, следовательно, $f((a,b)) = (A,B)$, а во-вторых, сужение на отрезок $[f(x_1),f(x_2)]$ обратной функции $f^{-1}$ непрерывно во внутренней точки у отрезка $[f(x_1),f(x_2)]$, а поэтому в этой точке непрерывна и обратная функция $f^{-1}$, рассматриваемая на всем множестве своего определения, т.е. на интервале $(A,B)$. \par %абзац Отметим, что последнее заключение следует из того, что если сужение какой-либо функции на множество, содержащее некоторую окрестность заданной точки, непрерывно в этой точке, то и сама функция, рассматриваемая на всем множестве своего определения, непрерывна в указанной точке, так как непрерывность в точке зависит лишь от значений функции в достаточно малой окрестности этой точки.$\triangleleft$ \par Отметим, что в теореме 4 интервалы $(a,b)$ и $(A,B)$ могут быть как конечными, так и бесконечными: $-\infty \leqslant a < b \leqslant +\infty$, $-\infty \leqslant A <$\\ $ 0$ и непрерывна на всей числовой оси. Действительно, если $0 <$ $< x_1 < x_2$, то умножая \textit{n} раз это неравенство само на себя, получим $0 < x_{1}^{n} < x_{2}^{n};$ это и означает строгое возрастание рассматриваемой функции. Для доказательства ее непрерывности заметим, что функция $y = x$ непрерывна на всей числовой оси. В самом деле, каковы бы ни были $x_0 \in \textbf{\textit{R}}$ и $\varepsilon > 0$, возьмем $\delta = \varepsilon$. Если $y_0 = x_0$, то $\Delta y = y - y_0 = x - x_0 = \Delta x$. Поэтому при $|\Delta x| < \delta$ получим $|\Delta y| = |\Delta x| < \delta = \varepsilon$, т.е. $\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$, а это и является условием непрерывности функции $y = x$. Функция же $y = x^{n}$ непрерывна на всей числовой оси (в частности, при $x > 0$) как произведение \textit{n} непрерывных функций $y = x$. \par Из того, что $\lim \limits_{x \to 0} x^{n} = 0$ и $\lim \limits_{x \to +\infty} x^{n} = +\infty$, следует согласно теореме 4, что множество заданных значений функции $y = x^{n}$ на интервале\\ $(0, +\infty)$ также является интервалом $(0, +\infty)$. Отсюда согласно той же теореме вытекает, что обратная функция $x =\sqrt[\textit{n}]{y}$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(0,+\infty)$. Поэтому, в частности, из любого положительного числа можно извлечь положительный корень \textit{n}-й степени, и притом единственный, а следовательно, для любого рационального числа \textit{r} однозначно определена степень $a^{r}$, $a > 0$, такая, что $a^{r} > 0$ (см. п. 2.1) \par З\,а\,м\,е\,ч\,а\,н\,и\,е. Аналоги теорем 3 и 4 имеют место и для функций, строго монотонных и непрерывных на конечных или бесконечных \newpage \noindent полуинтервалов вида $[a,b)$ и $(a,b]$. Их формулировка и доказательство по мере потребности представляются читателю \par {\bf7.4 Равномерная непрерывность.} Если функция $f$ непрерывна на отрезке, то это означает, что любой точки $x$ этого отрезка и для любого числа $\varepsilon > 0$ найдется такое число $\delta > 0$ (зависящее от точки $x$ и числа $\varepsilon$), что для всех точек $x^\prime$ отрезка, для которых \begin{equation}\label{eq2} |x^\prime - x| < \delta \end{equation} выполняеся неравенство \begin{equation}\label{eq3} |f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon \end{equation} Если число $\delta$ можно выбратть не зависящим от точки $x$ так, чтобы при выполнении условия (\ref{eq2}) выполнялось условие (\ref{eq3}), то функция $f$ называется \textit{равномерно непрерывной}. Сформулируем определение этого важного понятия более подробно. \par О\,п\,р\,е\,д\,е\,л\,е\,н\,и\,е\, 2. Функция $f$, заданная на отрезке $[a,b]$ называется \textit{равномерно непрерывной на нем}, если для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для любых двух точек $x \in [a,b]$ и $x^\prime \in [a,b]$ таких, что $|x^\prime - x| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon$. \par В символической записи определение непрерывности функции на отрезке выглядит следующим образом: $$\forall x\,\,\,\, \forall\varepsilon > 0 \,\,\,\, \forall\delta > 0\,\,\,\,\, \forall x^\prime,\,\,\,\, |x^\prime - x| < \delta: \,\,\, |f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon,$$ а опредление равномерной непрерывности выглядит так: \begin{equation} \forall\varepsilon > 0 \,\,\,\, \forall\delta > 0\,\,\,\,\, \forall x^\prime,x\,\,\,\, |x^\prime - x| < \delta: \,\,\, |f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon, \end{equation} \par Здесь точки $x$ и $x^\prime$ принадлежат отрезку, на котором задана функция $f$ \par П\,р\,и\,м\,е\,р\,ы.\,1. Функция $f(x) = x$ равномерно непрерывна на всей числовой оси $\textbf{R}$. Действительно, если задано $\varepsilon > 0$, то, выбрав $\delta = \varepsilon$, получим, что для любых точек $x$ и $x^\prime$ таких, что $|x^\prime - x| < \delta$, выполняется неравенство $$|f(x^\prime) - f(x)| = |x^\prime - x| < \delta = \varepsilon,$$ т.е. условия определения 1 выполнены \par 2.Функция $f(x) = x^2$ не равномерно непрерывна на всей числовой оси $\textbf{R}$. \par Это следует из того, что для любого $h \neq 0$ имеет место \begin{equation}\label{eq4} \lim \limits_{x \to \infty} [f(x + h) - f(x)] = \lim \limits_{x \to \infty} [(x + h)^2 - x^2] = \lim \limits_{x \to \infty} (2hx + h^2) = \infty. \end{equation} Поэтому, если задано $\varepsilon > 0$, то, каково бы ни было $\delta > 0$, зафиксировав $h \neq 0, |h| < \delta$, можно в силу (\ref{eq4}) так выбрать $x$, что для точек $x^\prime = x + h$ и $x$ будем иметь $$|f(x^\prime) - f(x)| > \varepsilon$$ \newpage \subsection{Задание 3} С помощью интерпретатора команд gnuplot было построено изображение графика функции $y=sin(x)-cos(x)$. После чего изображение данного графика было размещено в документе, подготовленном во время выполнения задания 2. Ниже представлен график. \begin{figure}[h] % Вствка изображения \centering\includegraphics[scale=0.3]{image.png} \caption{График функции $y = sin(x) - cos(x)$} \end{figure} \end{document}