\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\inputencoding{utf8}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\newcommand{\D}{{\Delta}}
\newcommand{\p}{{\partial}}
\newtheorem{Theorem}{Теорема}
\date{}

\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%	{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

  \parbox{8cm} {

    \renewcommand{\baselinestretch}{1}

    \normalsize

    Выполнил:\\Разин Е.~С. группа \#22101\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
    \rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
%\end{flushright}

Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

  }
 
\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2022
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Описание работы}
Передо мной встала задача научится пользоваться LaTeX, в частности для выполнения моих задач как будущего математика. Достичь данной цели (а точнее проверить достижение данной цели) могли серии работ, а именно:
\begin{itemize}
    \item Создать базовый документ с простым оформлением, понять основыми правилами ведения документа LaTeX
    \item Скопировать отрывок из математических трудов с целью тренировки набора и трансляции математических текстов: формулы, теоремы, замечания, следствия  с помощью издательской системы LaTeX
    \item Создать уникальных график, таким образом овладев инструментами построения научных графиков с помощью системы Gnuplot
    \item Создать рукописный конспект изученных материалов
    \item Подготовить отчет по практике
\end{itemize}
При выполнении данных заданий можно будет считать мое индивидуальное обучение LaTeX'у успешным, так как именно такой тип задач будут предоставлены передо во время реальных практик.

Базовый документ было выполнить довольно просто: выбрал простую тему для представления в документе - компоненты персонального компьютера, освоил создание документов, заглавий, списков и несложных формул.

Следующее задание было сложнее, но и интреснее. Необходимо было создать идеальную копию страниц 71-73 включительно .pdf версии второго тома "Краткий курс математического анализа" Л. Д. Кудрявцева. Сложные формулы с различными символами бросили мне вызов, но справочник и рекомендуемая литература помогли мне понять методы создания таких конструкций.

Задание 3 было относительно простым, Gnuplot мне был интуитивно понятен, разве что  возникли трудности с придумыванием уникального графика: важно, чтобы он не повторялся с работами других.

Конспект послужил для меня удобной и полезной систематизацией и упорядовачиванием уже полученных знаний.

\section{Результаты работы}
\subsection{Задание 2}

Сократив при $\D x \D y \neq 0$ обе части этого равенства на произведение $\D x \D y$ получим

\begin{equation}
f_{xy}(x_0 + {\theta}_1 \D x, y_0 + {\theta}_2 \D y)=f_{yx}(x_0 + {\theta}_3 \D x, y_0 + {\theta}_4 \D y)
  \end{equation}

Перейдя здесь к пределу при $\D x^2 + \D y^2 \rightarrow 0,\D x \D y \neq 0$, в силу непрерывности в точке $(x_0,y_0)$ частных производных $f_{xy}$ и $f_{yx}$ будем иметь $f_{xy}(x_0,y_0) = f_{yx}(x_0,y_0)$. Теоhема доказана.$\triangleleft$

З а м е ч а н и е. Из доказанной теоремы в случае непрерывности соотвествующих частных производных следует независимость результата дифференцирования от порядка переменных, по которым производится дифференцирование, для функций любого числа переменных и для частных производных любого порядка, так как этот более общий случай можно свести к последовательному рассмотрению вторых частных производных функций двух переменных и тем самым к формуле (1). Например, для функции $f(x,y,z)$ трех переменных имеем
\begin{equation}
f_{xyz}=f_{zyx}
\end{equation}
В самом деле,
\[
f_{xyz}=(f_x)_{yz}=(f_x)_{zy}=(f_{xz})_y=(f_{zx})_y=(f_z)_{xy}=(f_z)_{yx}=f_{zyx}
\]

\begin{bf}37.2. Дифференциалы высших порядков.\end{bf} Для дифференцируемой функции $y=f(x_1, \dots ,x_n)$ ее дифференциал имеет вид
\begin{equation}
  \label{eq:math:ex3}
dy=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\p f(x_1, \dots ,x_n)}{\p x_i} dx_i
\end{equation}
и является функцией от $2n$ переменных $x_1, \dots ,x_n$, $dx_1, \dots ,dx_n$. вычислим дифференциал от $dy$, рассматривая его только как функцию $x_1, \dots ,x_n$ (т.е. зафиксировав значения $dx_1, \dots ,dx_n$). Обозначив дифференциалы при новом дифференцировании символом $\delta$ и опустив для простоты записи обозначение аргументов $x_1, \dots ,x_n$, будем иметь
\[
\delta(dy) \underset{\eqref{eq:math:ex3}}{=} \sum\limits_{i=1}^n \delta (\frac{\p f}{\p x_i})dx = \sum\limits_{i=1}^n (\sum\limits_{j=1}^n \frac{\p^2 f}{\p x_j \p x_i} \delta x_j)dx_i =\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\frac{\p^2 f}{\p x_j \p x_i} dx_jdx_i.
\]


Таким образом, дифференциал от дифференциала является билинейной формой относительно переменных $dx_1, \dots ,dx_n$ и  $\delta x_1, \dots ,\delta x_n$.Соответствующая ей квадратичная форма (получающаяся из нее при $\delta x_i = dx_i$, $i = 1,2, \dots ,n$ называется \begin{it}вторым дифференциалом функции $f$ в данной точке\end{it} и обозначается символом $d^2y$ Таким образом,
  \[
d^2y \overset{def}{=} \delta (dy)|_{\overset{\delta x_i = dx_i}{i = 1,2, \dots ,n}}.
\]
откуда
\[
d^2y = \sum\limits_{i,j=1}^n\frac{\p^2 f}{\p x_j \p x_i} dx_jdx_i.
\]

Аналогично определяются и дифференциалы высших порядков
\begin{equation}
     \label{eq:math:ex4}
d^{m+1}y=\delta (d^my)|_{\overset{\delta x_i = dx_i}{i = 1,2, \dots ,n}}.
\end{equation}

Нетрудно доказать, что
\begin{equation}
   \label{eq:math:ex5}
d^my=(\frac{\p f}{\p x_1}dx_1+ \dots +\frac{\p f}{\p x_n}dx_n)^{\{ m \}} f(x_1, \dots ,x_n)
\end{equation}
Здесь $\{ m \}$ — символическая степень, обозначающая, что выражение $(\frac{\p f}{\p x_1}dx_1+ \dots +\frac{\p f}{\p x_n}dx_n)^{\{ m \}}$ записывается с теми ж е коэффициентами, которые получаются при обычном возведении в степень. Формула $\eqref{eq:math:ex5}$ в раскрытом виде выглядит следующим образом:
\[
d^my =\sum\limits_{m_1+ \dots +m_n=m}^{} \frac{m!}{m_1! \dots m_n!}\frac{\p ^mf}{\p x_1^{m_1} \dots \p x_n^{m_n}}dx_1^{m_1}\dots dx_n^{m_n}.
\]

При $m=1$ формула $\eqref{eq:math:ex5}$ уже известна (см. $\eqref{eq:math:ex3}$),для произвольного натурального $m$она доказывается методом математической индукции исходя из определения $\eqref{eq:math:ex4}$.

З а м е ч а н и е. Как и для случая функций одной переменной, для функции любого числа переменных дифференциалы порядков выше первого не имеют инвариантной формы относительно выбора переменных.

\begin{center} \begin{bf}\S 38. Формула Тейлора для функций многих переменных \end{bf} \end{center}

\begin{bf} 38.1 Формула Тейлора для функций двух переменных \end{bf}Для большей краткости записи формул будем использовать символическую степень( см. $\eqref{eq:math:ex5}$). При $n = 2$ имеем

\[
(\D x \frac{\p}{\p x}+\D y \frac{\p}{\p y})^{\{ k \}}f(x,y) \overset{def}{=} \sum\limits_{j=0}^k C \binom{j}{k} \frac{\p ^k f(x,y)}{\p x^{k-j} \p y^j} \D x^{k-j} \D y^j.
\]

\begin{Theorem}Пусть функция $z=f(x,y)$ непрерывна вместе со своими частными производными до порядка $m$ включительно, $m \geqslant 1$, в некоторой круговой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Тогда в этой окрестности
\end{Theorem}

\begin{equation*}
f(x_0+ \D x, y_0 + \D y)=\sum\limits_{k=0}^m-1 \frac{1}{k!} (\D x \frac{\p}{\p x} + \D y \frac{\p}{\p y} )^{\{k\}} f(x_0,y_0) + 
\end{equation*}
\begin{equation}
+\frac{1}{m!}(\D x \frac{\p}{\p x} + \D y \frac{\p}{\p y})^{\{ m \}} f(x_0 + \theta \D x, y_0 + \theta \D y), 0 < \theta < 1.
\end{equation}
С л е д с т в и е. \begin{it}В условиях теоремы имеет место формула \end{it}
\begin{equation*}
    f(x_0 + \D x, y_0 + \D y) = \sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!} (\D x \frac{\p}{\p x} + \D y \frac{\p}{\p y} )^{\{k\}} f(x_0,y_0) + o(\rho ^m),
\end{equation*}
\begin{equation}
    \rho \sqrt{\D x^2 + \D y^2} \rightarrow 0.
\end{equation}

Формулы (6) и (7) называются \begin{it}Формулами Тейлора функции $f$ в точке $(x_0,y_0)$ю\end{it}
Пусть $x = x_0 + \D x , y = y_0 + \D y$. Многочлен
\begin{equation*}
    P_m(x,y) = \sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{k!}((x - x_0)\frac{\p}{\p x} + (y - y_0)\frac{\p}{\p y})^{\{k\}}f(x_0,y_0)
\end{equation*}
Называется \begin{it}многочленом Тейлора степени $m$ функции $f$ в точке $(x_0,y_0)$\end{it}, а разность $f(x,y) - P_m(x,y)$ - \begin{it}остаточным членом $r_m(x,y)$ формулы Тейлора.\end{it}Таким образом, формула Тейлора имеет вид
\begin{equation*}
f(x,y) = P_m(x,y)+r_m(x,y).
\end{equation*}
Формула (6) называется \begin{it}формулой Тейлора с остаточным членом $r_{m-1}(x,y)$,\end{it}а формула (7) - \begin{it}формулой Тейлора с остаточным членом $r_m(x,y)$ в виде Пеано.\end{it}

$\triangleright$ Зафиксируем приращения $\D x$ и $\D y$ так, чтобы точка $(x_0 + \D x, y_0 + \D y)$ лежала в круговой окрестности точки $(x_0,y_0)$, указанной в условиях теоремы.

    Рассмотрим вспомогательную функцию
\begin{equation}
    F(t) \overset{def}{=} f(x_0 + t \D x, y_0 + t \D y), 0 \le t \le 1,  
\end{equation}    
являющуюся композицией функций $f(x,y)$ и $x = x_0 + t \D x, y = y_0 + t \D y$ и потому $m$ раз непрерывно дифференцируемой на отрезке [0,1]. Согласно формуле Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в форме Лангража (см. п. (32.3))
\begin{equation*}
    F(t) = F(0) + F'(0)t+...+\frac{F^{m-1}(0)}{(m-1)!}t^{m-1}+\frac{F^{(m)}}{(m)!}t^m,
\end{equation*}
\begin{equation*}
    0 < \theta < 1, 0 \leq t\leq 1.
\end{equation*}
Отсюда при $t = 1$ получим

   $f(x_0 + \D x, y_0 + \D y) \underset{(8)}{=}  F(1) =$

\begin{equation}
    F(0) + P'(0) + \frac{F''(0)}{(m-1)!}+\frac{F^{(m)}(\theta)}{(m)!},    0 \leq \theta \leq 1.
\end{equation}

\subsection{Задание 3}
\begin{figure}[h]
      \includegraphics{plot.png}
      \caption{$69x^3+420x^2$}
      \end{figure}
\end{document}
