\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage{ucs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{gnuplottex}
\usepackage{mathtext} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[left=20mm, top=15mm, right=15mm,bottom=15mm,nohead,footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{indentfirst}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}

%Подключаем графические пакеты
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{epsfig,graphicx}

%Шрифты американского математического сообщества
\usepackage{amssymb}

%Также отменяем указание даты в заголовке документа (задаем пустую дату)
\date{}

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{sled1}{Следствие}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

%Подключаем графические пакеты, которые пригодятся в конце семестра

\renewcommand{\baselinestretch}{1}
{\large
{\sc Министерство образования и науки Российской Федерации\\
ФГБОУ <<Петрозаводский государственный университет>>\\
Институт математики и информационных технологий\\
Кафедра информатики и математического обеспечения
}
}

\end{center}

\vfill

\begin{center}
{\normalsize Отчет по учебной практике\\(компьютерные технологии в математике) } \\

%\bigskip
%	{\Large \sc Анализ производительности беспроводной сети 802.11} \\
\end{center}
\bigskip

\begin{flushright}

  \parbox{8cm} {

    \renewcommand{\baselinestretch}{1}

    \normalsize

    Выполнил:\\Панфилов Г.~Н. группа 22104 \\
    \\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
    \rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
\\
%\end{flushright}

Руководитель практики:\\
к.т.н., доцент О. Ю. Богоявленская\\
%Оценка руководителя:\\ \hfill \rule{35mm}{.3pt}\\
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it подпись}\\
\\
%\end{flushright}

Итоговая оценка:\\
%\begin{flushright}
%<<\rule{10mm}{.3pt}>> \rule{35mm}{.3pt} 2022 г.\\
%\end{flushright}
%\begin{flushright}
%\vspace{5mm}
\rule{55mm}{.3pt}\\
\mbox{\ \ \ \qquad}{\it оценка}\hfill\\
%\end{flushright}

  }
 
\end{flushright}

\vfill

\begin{center}
\large Петрозаводск -- 2022
\end{center}

\newpage
\tableofcontents

\newpage

\newcommand\aboutpractice{В ходе прохождения компьютерной практики по дисциплине "Компьютерные технологии в математике"  на протяжении 2 семестра были получены следующие навыки: 
\begin{enumerate} 
  \item Умение работать с текстовым редактором LATEX
    \begin{enumerate} 
        \item набор математическим формул.
        \item рубрикациия текста и специальных абзацев.
        \item оформление новых окружений (теоремы, леммы и пр.) и команд.
    \end{enumerate} 
  \item  Работа с графическим редактором gnuplot
    \begin{enumerate}
        \item оформление графика математической функции
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

В результате прохождения практики были выполнены две задачи:
\begin{enumerate}
    \item написание математического текста (в качестве задания 2)
    \item построение графика функции $y = cos(x)$ (в качестве задания 3)
\end{enumerate}

содержание задач описано в соответствующих разделах данного отчета.}

\newcommand\firsttask{

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{sled1}{Следствие}

Поскольку функция y = f(x) непрерывна при $x = x_{0}$, то $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$ и, следовательно, в силу теоремы о пределе сложной функции (см. (6.41) в п.6.13) имеем 
\begin{equation}
\lim_{\Delta x\to 0}\epsilon (\Delta y) = 0
\end{equation}
Поделив обе части первого неравенства (10.30) на $\Delta x \neq 0$ , получим 
\begin{equation}
\frac{\Delta z} {\Delta x} =
g'(y_0)\frac{\Delta y} {\Delta x} + \epsilon(\Delta y)\frac{\Delta y} {\Delta x}.
\end{equation}
В силу равенств (1) и $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y} {\Delta x} = f'(x_0)$ предел правой части равенства (2) при $\Delta x \to 0$ существует и равен $g'(y_0)f'(x_0)$, следовательно, существует и предел левой части, т.е существует $$F'(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta z} {\Delta x},$$
причем $$F'(z_0) = g'(y_0)f'(x_0). \triangleleft$$
С\,л\,е\,д\,с\,т\,в\,и\,е (инвариантность формы дифференциала).
\begin{equation}
dz = F'(x_0)dx = g'(y_0)dy,
\end{equation}
\textit{или, короче,} $$dz = z_x'dx = z_y'dy.$$

Эта формула показывает, что формально записи дифференциала сложной функции посредством независимой переменной $x$ и посредством зависимой переменной $y$ имеют один и тот же вид, но следует иметь в виду, что здесь $dx = \Delta x$ - приращение независимой переменной $x$, а $dy$ - дифференциал функции $y=f(x)$, т.е. главная линейная часть приращения $\Delta y$ зависимой переменной ("главная" в том смысле, что разность $\Delta y - dy$ является при $\Delta x \to 0$ бесконечно малой более высокого порядка, чем само $\Delta x$).

Докажем формулу(3): $$dz = dF(x_0) \mathrel{\mathop{=}\limits_{10.13}} F'(x_0)dx \mathrel{\mathop{=}\limits_{10.28}} g'(y_0)f'(x_0)dx \mathrel{\mathop{=}\limits_{10.13}} g'(y_0)dy.$$

П\,р\,и\,м\,е\,р. Вычислим производную функции $y=x^\alpha, x > 0, \alpha \in {\bf R},$ с помощью формулы (10.28). Для этого представим функцию $y=x^\alpha$ как композицию функций $y=e^u$ и $u=\alpha \ln x.$ Заметив, что $\frac{dy} {du} = e^u, \frac{du} {dx} = \frac{\alpha} {x},$ получим $$(x^\alpha)'=(e^{\alpha \ln x})'= (e^u)_u'u_x'=e^u \frac{\alpha} {x}=e^{\alpha \ln x} \frac{\alpha} {x}=x^\alpha \frac{\alpha} {x}=\alpha x^{\alpha -1},$$
т.е 
\begin{equation}
(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1}.
\end{equation}

\textbf{10.8. Гиперболические функции и их производные.} Нередко в математическом анализе встречаются функции $\frac{e^x-e^{-x}} {2}$ и $\frac{e^x+e^{-x}} {2}$. Они имеют специальные названия: первая из них называется \textit{гиперболический синус} и обозначается sh $x$, а вторая - \textit{гиперболический косинус} ch $x$. Таким образом, 
\begin{equation}
sh x \defeq \frac{e^x-e^{-x}} {2},
\end{equation}
\begin{equation}
ch x \defeq \frac{e^x+e^{-x}} {2},
\end{equation}
Эти функции обладают некоторыми свойствами, похожими на свойства обычных (круговых) синусов и косинусов, например,
\begin{equation}
ch^2x-sh^2x=\frac{1} {4}(e^{2x}+2-e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x})=1,
\end{equation}
\begin{equation}
2shxchx=2\frac{e^x-e^{-x}} {2} \frac{e^x+e^{-x}} {2}=\frac{e^{2x}-e^{-2x}} {2}=sh2x.
\end{equation}
Слово "гиперболический" в названии функций (5) и (6) объясняется тем, что уравнения $$x=\alpha cht, y=\alpha sht, \alpha >0, -\infty <t<+\infty,$$
являются, в силу формулы (7), параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы $x^2-y^2=\alpha^2,$ подобно тому, как уравнения $$x=\alpha cost, y=\alpha sint, 0\le t\le 2\pi,$$
являются параметрическими уравнениями окружности $x^2-y^2=\alpha^2.$
Вычислим производные гиперболических синуса, косинуса:
\begin{equation}
(sh x)' = \left(\frac{e^x-e^{-x}} {2} \right)'= \frac{e^x+e^{-x}} {2}=chx,
\end{equation}
\begin{equation}
(ch x)' = \left( \frac{e^x+e^{-x}} {2} \right)'= \frac{e^x-e^{-x}} {2}=shx,
\end{equation}

\textbf{10.9. Производные комлплекснозначных функций действительного аргумента.} Если функция $f(x)$ задана в некоторой окрестности $U$ точки $x_0$ числовой оси и принимает, вообще говоря, комплексные значения, т.е. имеет вид $$f(x)=u(x)+iv(x), u(x) \in {\bf R}, v(x) \in {\bf R}, x \in U,$$ то ее производная в точке $x_0$ определяется равенством 
\begin{equation}
f'(x_0)=u'(x_0)+iv'(x_0)
\end{equation}
(само собой разумеется, что это определение имеет смысл только тогда, когда у функции $u(x)$ и $v(x)$ существуют производные в точке $x_0$)
При таком определении операция дифференцирования остается линейной: $$(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)'=\lambda_1f_1'+\lambda_2f_2', \lambda_1 \in C, \lambda_2 \in C.$$
П\,р\,и\,м\,е\,р. Если f(x) = $cos\alpha x+isin\alpha x,$ то $$f'(x) \mathrel{\mathop{=}\limits_{(10.41)}} -\alpha sin\alpha x+ i\alpha cos\alpha x=i\alpha(cos\alpha x+isin\alpha x)=i\alphaf(x).$$
Можно обобщить понятие производной на случай комплекснозначных функций комплексного переменного. Это понятие приводит к большому качественному многообразию новых явлений и потому изучается в отдельном курсе теории функций комплексного переменного.
\textsection 11. \textbf{Производные и дифференциалы высших порядков}
\textbf{11.1. Производные высших порядков.} Пусть функция $y=f(x)$ имеет производную $y'=f'(x)$ во всех точках некоторой окрестности точки $x_0$. Если функция $f'(x)$ в свою очередь имеет в точке $x_0$ производную $[f'(x)']'|_{x=x_0}$, то она называется \textit{второй производной функции f в точке $x_0$} и обозначается $f''(x_0)$ или $f^{(2)}x_0$. Таким образом, опуская обозначения аргумента, имеем $$y^{(2)} \equiv y'' \defeq (y')'.$$
Аналогично определяются и производные $y^{(n)}$ более высоких порядков n:
\begin{equation}
y^{(n+1)}=[y^{(n)}]', n=0,1,\ldots,
\end{equation}
где для удобства считается, что $y^{(0)}$.

П\,р\,и\,м\,е\,р\,ы. 1. Если $y=a^x, a>0,$ то $y'=a^x \ln a, y'' = a^x \ln^2 a,$ вообще, $y^{(n)}=a^x \ln^n a, n= 0,1,2, \ldots$ В частности, если $y=e^x,$ то 
\begin{equation}
(e^x)^{(n)}=e^x
\end{equation}

2. Если $y=sinx, y'=cosx, y^{(2)}=-sinx, y^{(2)}=-cosx, y^{(4)}=sinx.$ Заметив, что $cos\alpha = sin(\alpha + \frac{\pi} {2}),$получим $$y'=sin(\alpha + \frac{\pi} {2}), y^{(2)}=cos(x+\frac{\pi} {2})=sin(x+2\frac{\pi} {2}).$$

Вообще, 
\begin{equation}
(sinx)^{(n)}=sin(x+n\frac{\pi} {2}).
\end{equation}
Аналогично,
\begin{equation}
(cosx)^{(n)}=cos(x+n\frac{\pi} {2}, n=0,1,\ldots).
\end{equation}


}

\section{Описание работы}
\aboutpractice

\newpage
\section{Результаты работы}

\subsection{Задание 2}
\firsttask

\subsection{Задание 3}
\begin{figure}[h]
 \centering
 \begin{gnuplot}
 set xzeroaxis
 set yzeroaxis
 set border 0          
 set xtics axis # определение меток по оси x
 set ytics axis # определение меток по оси y
 set xtics add ("" 0)
 set ytics add ("" 0)
# 
 set arrow 1 from 0,0 to graph 1, first 0 filled head
 set arrow 2 from 0,0 to first 0, graph 1 filled head
  set title "Пример функции косинуса"
  plot cos(x)
  
 \end{gnuplot}
\end{figure}

\end{document}