\documentclass[a4paper,14pt]{extarticle} % можно использовать кегель 8-12, 14, 17 и 20 пунктов
\usepackage[english, russian]{babel} % задаёт русский как основной язык текста
\usepackage[T2A]{fontenc} % задаёт кириллическую кодировку шрифта
\usepackage{cmap} % обеспечивает нормальное копирование и поиск русского текста в pdf
\usepackage[utf8]{inputenc} % определяет юникодную кодировку самого .tex-файла
\newtheorem{theorem}{ Теорема }
\usepackage{geometry} % задаёт поля
\geometry{left=1.5cm} % левое — 1,5 см
\geometry{right=2cm} % правое — 2 см
\geometry{top=2cm} % верхнее — 2 см
\geometry{bottom=2cm} % нижнее — 2 см

\textwidth=16cm

%\usepackage{setspace} \onehalfspacing % задаёт «полуторный» межстрочный интервал
\usepackage{indentfirst} % автоматически добавляет отступ в каждый новый абзац
\usepackage{enumitem} % настраивает работу со списками:
\def\labelitemi{—} % ... задаёт длинное тире как стандартный маркер ненумерованного списка
\setlist{nolistsep} % ... убирает дополнительный отступы между элементами списка

\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{pdfpages}

\begin{document}
 \includepdf[pages={1}]{lab6.pdf}
ибо в силу неотрицательности функции $f$ имеет место неравенство$\int\limits_\eta^{\eta'} f(x)dx\ge0$ т. е. функция $\phi(\eta)$ возрастает на полуинтервале [$a, b$).
Существование несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x)dx$ означает существование конечного предела.
\begin{displaymath}
\lim\limits_{\eta\to b}\phi(\eta)=\int\limits_a^b f(x)dx,
\end{displaymath}
что имеет место тогда и только тогда , когда функция $\phi(\eta)$ ограничена
сверху ( см. теорему 4 в п. 6.11), а это в силу (29.15) равносильно
условию (29.14).$\triangleleft$

З\,а\,м\,е\,ч\,а\,н\,и\,е\ . При доказательстве леммы 1 было показано , что в
случае неотрицательности функции $f$ функция $\phi(\eta)$ ( см. (29.15)) возрастает на [$a, b$) и, следовательно , всегда имеет при $\eta\to b$ конечный или бесконечный , равный $+\infty$, предел в зависимости от того, ограничена она или нет. Если функция $\phi(\eta)$ неограничена на [$a, b$), то
\begin{displaymath}
\lim\limits_{\eta\to b}\int\limits_a^\eta f(x)dx \stackrel[(29.15)]{}{=}\lim\limits_{\eta\to b}\phi(\eta)=+\infty,
\end{displaymath}
и в этом случае пишут
\begin{displaymath}
\int\limits_a^b f(x)dx=+\infty
\end{displaymath}
(как мы уже и поступали в примерах п. 29.1).

\newtheorem{theorem}{ Теорема }
\begin{theorem}
\label{Теорема 1.}
{ (признак сравнения). Пусть}

\begin{eqnarray}\label{(29.16)}
0\leq g(x)\leq f(x), x\in[a,b).
\end{eqnarray}
Тогда:

1) если интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ сходится, то сходится и интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$;
2) если интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$ расходится, то расходится и интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$.
\end{theorem}
С\,л\,е\,д\,с\,т\,в\,и\,е\ 1. Пусть функции fug неотрицательны на промежутке $[a, b), g(x)\neq 0$ при всех $x \in [a, b) $и существует конечный или бесконечный предел
\begin{eqnarray}\label{(29.17)}
\lim\limits_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=k.
\end{eqnarray}
Тогда:
1) если интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$ сходится и $0\leq k < +\infty$, то и интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ сходится;

2)если интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$ расходится и $ 0\leq k< +\infty$ и интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ расходится.

С\,л\,е\,д\,с\,т\,в\,и\,е\ 2. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ эквивалентны при $x\to b$, т. е. $f(x)=\phi (x) g(x), a\leq x<b, \lim\limits_{x\to b}\phi(x)=1$, то интегралы $\int\limits_a^b f(x)dx$ и $\int\limits_a^b g(x)dx$ одновременно сходятся или расходятся.

$\triangleright$ Докажем теорему . Для любого $\eta \in [a,b)$ в силу неравенства \ref{((29.16))} имеем
\begin{displaymath}
\int\limits_\eta^a g(x)dx \leq \int\limits_\eta^a f(x)dx,
\end{displaymath}
Поэтому если интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ сходится и, следовательно , согласно лемме 1 ограничен сверху интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$, т о будет ограничен
сверху и интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$, откуда , согласно той же лемме , интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$ сходится.

Если же расходится интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$, то в силу уже доказанного интеграл
$\int\limits_a^b f(x)dx$ не может сходиться, так как тогда бы сходился и интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$, а это противоречит условию. Таким образом интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ расходится.$\triangleleft$

Докажем теперь следствие 1.

$\triangleright$ Пусть выполняется условие \ref{(29.17)} и $ 0\leq k< +\infty$. Из того, что $k$ является пределом функции $\frac{f(x)}{g(x)}$ при $x\to b$, и из неравенства $k<k+1$ следует существование такого $\eta\in[a,b)$, что если $\eta<x<b$,то $\frac{f(x)}{g(x)}<k+1$, т.е.
\begin{eqnarray}\label{(29.18)}
f(x)<(k+1)g(x)
\end{eqnarray}
Если сходится несобственный интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$, то сходится интеграл $\int\limits_\eta^b (k+1)g(x)dx$(см.(29.3) и (29.9));следовательно в силу неравенства \ref{(29.18)} интеграл $\int\limits_\eta^b (k+1)g(x)dx$, а поэтому и интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ сходится.

Пусть теперь условие \ref{(29.17)} выполняется при $0< k\leq +\infty$. Тогда зафиксируем произвольно такое $k'$, что $0<k'<k$. Из того, что $k$ является пределом функции $\frac{f(x)}{g(x)}$ при $x\to b$, и из неравенства $k'<k$ следует существование такого $\eta \in [a, b)$, что для всех $x\in (\eta, b)$ выполняется неравенство $\frac{f(x)}{g(x)}>k'$, т. е. неравенство

\begin{displaymath}
f(x)>k'g(x)
\end{displaymath}

Отсюда в силу расходимости интеграла $\int\limits_a^b g(x)dx$ следует расходимость интеграла $\int\limits_a^b k'g(x)dx$, а следовательно , по \ref{Теорема 1.} и расходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x)dx$. $\triangleleft$

Докажем теперь следствие 2.

$\triangleright$Из условия $\lim\limits_{x\to b}\phi (x) = 1$ следует, что существует такое число $c$, $a<c<b$, что при $c\leq x<b$ выполняется неравенство $\frac{1}{2}\leq \phi (x)\leq \frac{3}{2}$. А так как $f(x)=\phi (x)g(x)$, то
\begin{displaymath}
\frac{1}{2}g(x)\leq f(x) \leq \frac{3}{2}g(x).
\end{displaymath}
Отсюда в силу теоремы и следует , что интегралы $\int\limits_a^b f(x)dx$ и $\int\limits_a^b g(x)dx$ одновременно сходятся или расходятся.

При применении признака сходимости для исследования интеграла обычно начинают со сравнения подынтегральной функции с функциями
\begin{displaymath}
\frac{1}{(x-a)^\alpha},\quad \frac{1}{(b-a)^\alpha},\quad \frac{1}{x^\alpha}
\end{displaymath}
сходимость интегралов от которых уже известна ( примеры п. 29.1 и
п. 29.2).
\end{document}

\end{document}