%Определение стиля документа
\documentclass[12pt,a4paper,]{book}

%Необходимо для использования кириллических символов в кодировке utf-8
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage[miktex]{gnuplottex}
\inputencoding{utf8}

%Подключаем графические пакеты, которые пригодятся в конце семестра


%Шрифты американского математического сообщества
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

%Колонтитулы
\usepackage{fancyhdr} %загружаем пакет
\pagestyle{fancy} %применяем колонтитулы
\fancyhf{} %убираем текущие установки для колонтитулов
\fancyhead[LO,RE]{\thepage} %номер страницы слева сверху на нечетных и справа на четных
\fancyhead[CO]{{\itshape \S17 Длина кривой}}
\fancyhead[CE]{{\itshape Гл. 1 Дифференциальное исчисление функций одной перемнной}}

%Определим новую команду, чтобы быстрее набирать символ вероятности
\newcommand{\Prb}{{\bf P}}

%Символ матем. ожидания
\newcommand{\M}{{\bf\sf E}}

%Отменим указание даты в заголовке документа
\date{}

%Теоремы
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{komment}{Замечание}

%Конец преамбулы --- начало основного текста
\begin{document}

\begin{theorem} \label{t1}
Если кривая $\Gamma = \{{\bf r}(t); a \leqslant t \leqslant b\}$ непрерывно дифференцируема, то она спрамляема и ее длина $S_{\Gamma}$ удовлетворяет неравенству
{
\begin{equation}
|{\bf r}(b) - {\bf r}(a)| \leqslant S_{\Gamma} \leqslant c(b-a),\label{(17.20)}
\end{equation}
} 
где
{
\begin{equation}
c = \max_{[a, b]} |{\bf r'}(t)|\label{(17.21)}
\end{equation}
}
\end{theorem}

\noindent$\triangleright$ Прежде всего заметим, что в силу непрерывности на отрезке $[a,b]$ производной {\bf r'}(t) числовая функция |{\bf r'}(t)| также непрерывна на этом отрезке, а следовательно, ограничена и принимает на нем наибольшее значение. Поэтому существует число $c = \underset{[a, b]}{\max} |{\bf r'}(t)| < +\infty$.

Возьмем какое-либо разбиение $\tau = \{t_i\}^{i=i_\tau}_{i=0}$ отрезка $[a, b]$. Тогда, используя очевидное векторное тождество
{
\begin{equation}
{\bf r}(b) - {\bf r}(o) = \sum_{i=1}^{i_{\tau}} {\bf r}(t_i) - {\bf r}(t_{i-1})\label{(17.22)}
\end{equation}
}
и применяя теорему 1 из п. 16.2, получим\\
{
\begin{equation}
|{\bf r}(b) - {\bf r}(o)| \underset{\ref{(17.20)}}{=} \left|\sum_{i=1}^{i_{\tau}} {\bf r}(t_i) - {\bf r}(t_{i-1})\right| \leqslant \sum_{i=1}^{i_{\tau}}|{\bf r}(t_i) - {\bf r}(t_{i-1})| \leqslant
\end{equation}
}
{
\begin{equation}
\leqslant \sum_{i=1}^{i_{\tau}}|{\bf r'}(\xi_i)|(t_i - t_{i-1}) \underset{\ref{(17.21)}}{\leqslant} c \sum_{i=1}^{i_{\tau}}t_i - t_{i-1} = c(b-a), \label{(17.23)}\newline
\end{equation}
}
где $t_{i-1} < \xi_i < t_i , i = 1, 2, ..., i_{\tau}.$ Так как $\sum_{i=1}^{i_{\tau}}|{\bf r}(t_i) - {\bf r}(t_{i-1})| \underset{(17.18)}{=} \sigma_{\tau} -$\\
длина вписанной в кривую Г ломаной, соответствующей разбиению $\tau$, то из неравенства \ref{(17.23)} следует, что\\
{
\begin{equation}
|{\bf r}(b) - {\bf r}(a)| \leqslant \sigma_{\tau} \leqslant c(b-a).
\end{equation}
}
Перейдя в этом неравенстве к верхней грани по всевозможным разбиениям $\tau$ отрезка $[a,b]$, получим, в силу определения (17.19), неравенство \ref{(17.20)}
{
\begin{equation}
|{\bf r}(b) - {\bf r}(a)| \leqslant S_\Gamma \underset{(17.19)}{=} \underset{\Gamma}{sup} \sigma_{\tau} \leqslant c(b-a).
\end{equation}
}
Поэтому $S_\Gamma < +\infty$, т.е. кривая $\Gamma$ спрямляемая. $\triangleleft$

\begin{theorem} \label{t2}
Если кривая $\Gamma = \{{\bf r}(t) = (x(t),y(t),z(t)); a \leqslant t \leqslant b\}$ непрерывно дифференцируема, то переменная длина дуги $s=s(t)$, отсчитывается от начала кривой $\Gamma$, является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и
{
\begin{equation}
\frac{ds}{dt} = \left|\frac{d{\bf r}}{dt}\right| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}. \label{(17.24)}
\end{equation}
}
\end{theorem}
$\triangleright$ Как и выше, будем через $M(t)$ обозначать конец радиус-вектора {\bf r}(t). Пусть $s(t)$ - длина дуги кривой $\Gamma$ от точки $M(a)$ до точки $M(t)$, $t \in [a,b], t + \Delta t +\in [a,b]$, и $\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t_0)$. Очевидно, что $|\Delta s|$ является длиной дуги с концами в точках $M(t)$ и $M(t + \Delta t)$.\\

Поэтому согласно теореме \ref{t1} для $\Delta {\bf r} = {\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)$ имеет место неравенство
{
\begin{equation}
|\Delta {\bf r}| = |{\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)| \leqslant |\Delta s| \leqslant c|\Delta t|,\label{(17.25)}
\end{equation}
}
где c - наибольшее значение $|{\bf r}'(t)|$ на отрезке с концами в точка t и $t + \Delta t$. Обозначим через $\xi = \xi(\Delta t)$ точку этого отрезка, в которой
{
\begin{equation}
|{\bf r}'(\xi)| = c.\label{(17.26)}
\end{equation}
}
Поделим обе части равенства \ref{(17.25)} на $|\Delta t|, \Delta t \neq 0:$
{
\begin{equation}
\left|\frac{\Delta{\bf r}}{\Delta t}\right| \leqslant \left|\frac{\Delta s}{\Delta t}\right| \leqslant c \underset{\ref{(17.26)}}{=} |{\bf r}'(\xi)|.\label{(17.27)}
\end{equation}
}

Функция $s = s(t)$ возрастает (с увеличением дуги ее длина возрастает). Поэтому если $\Delta t > 0$, то $\Delta s \geqslant 0$, а если $\Delta t < 0$, то $\Delta s \leqslant 0$ и, следовательно, всегда $\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t} \geqslant 0$, иначе говоря, $\displaystyle \left|\frac{\Delta s}{\Delta t}\right| = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.\\
 
Таким образом, неравенство \ref{(17.27)} можно записать в виде
{
\begin{equation}
\left|\frac{\Delta {\bf r}}{\Delta t}\right| \leqslant \frac{\Delta s}{\Delta t} \leqslant |{\bf r}'(\xi)|.\label{(17.28)}
\end{equation}
}

Левая и правая части этого неравенства имеют при $\Delta t \rightarrow 0$ один и тот же предел, равный $|{\bf r}'(t)|$.
В самом деле, в силу определения производной
{
\begin{equation}
\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\left|\frac{{\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)}{\Delta t}\right| = \left|\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{{\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)}{\Delta t}\right| = |{\bf r}'(t)|
\end{equation}
}
Из выполнения же условия $\xi \in [t,t + \Delta t]$ при $\Delta t > 0$ или условия $\xi \in [t + \Delta t,t]$ при $\Delta t < 0$ следует, что $\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\xi = t$, а так как функция $|{\bf r}'(t)|$ непрерывна, то отсюда вытекает, что $\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}|{\bf r}'(\xi)| = |{\bf r}'(t)|$. А тогда из неравенства \ref{(17.28)} получаем, что предел $\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}$ существует и так же равен $|{\bf r}'(t)|$. Это означает, что существует производная $s'(t)$ и что $s'(t) = |{\bf r}'(t)|$.
Если ${\bf r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$, то ${\bf r}'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t))$, а потому
{
\begin{equation}
s'(t) = |{\bf r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}. \triangleleft \label{(17.29)}
\end{equation}
}
\begin{komment}
\textnormal{Если длина $\sigma$ дуг кривой $\Gamma$ отсчитывается от ее конца, то $\sigma = S_\Gamma - s$ и, следовательно, $\displaystyle\frac{d\sigma}{ds} = -1$, поэтому}
{
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{dt} = \frac{d\sigma}{ds}\frac{ds}{dt} = -\frac{ds}{dt} = -|r'(t)|.
\end{equation}
}
\end{komment}
\begin{komment}
{
\textnormal{Если непрерывно дифференцируемая гривая $\Gamma = \{{\bf r}(t); a \leqslant t \leqslant b\}$ не имеет особых точек $({\bf r}'(t) \neq 0 на отрезке [a,b])$, т.е. $\Gamma$ - гладкая кривая, то в силу теоремы \ref{t2} переменная длина дуги $s = s(t)$, отсчитываемая от начала $M(a)$ кривой $\Gamma$, является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией с производной, положительной во всех точках отрезка $[a,b]: s'(t) = |{\bf r}'(t)| > 0$. А так как $s(a)=0, s(b)=S_\Gamma$, то обратная функция $t=t(s)$ однозначна, строго возрастает, непрерывно дифференцируема на отрезке $[0,S_\Gamma]$ и} 
{
\begin{equation}
\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\frac{ds}{dt}}\label{(17.30)}
\end{equation}
}
}
\end{komment}

Таким образом, для всякой гладкой кривой ее параметр является строго возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией переменной длины дуги и произовдная этой функции нигде не обращается в нуль.

Следовательно, функция $t=t(s)$ есть допустимое преобразование параметра в смысле п. 17.1 и, следовательно, на гладкой кривой в качестве параметра можно взять переменную длину ее дуг. Из сказанного вытекает также, что имеет смысл производная 
{
\begin{equation}
\frac{d{\bf r}}{ds}=\frac{d{\bf r}}{dt}\frac{dt}{ds}\label{(17.31)}
\end{equation}
}

Вектор $\displaystyle\frac{d{\bf r}}{ds}$ только числовым множителем $\displaystyle\frac{dt}{ds}$ отличается от касательного вектора  $\displaystyle\frac{d{\bf r}}{dt}\neq{\bf 0}$ и поэтому также направлен по касательной. Докажем, что вектор $\displaystyle\frac{d{\bf r}}{ds}$ является единичным вектором.
\begin{theorem} \label{t3}
Если на кривой $\Gamma = \{{\bf r}(s); 0 \leqslant s \leqslant S\}$ параметром является длина дуги и кривая непрерывно дифференцируема, то
{
\begin{equation}
\left|\frac{d{\bf r}}{ds}\right| = 1 \label{(17.32)}
\end{equation}
}
\end{theorem}
$\triangleright$ Из формулы \ref{(17.24)} при $t=s$ имеем
{
\begin{equation}
\left|\frac{d{\bf r}}{ds}\right|=\frac{ds}{ds}=1.  \triangleleft
\end{equation}
}

Поскольку на гладкой кривой можно взять за параметр длину дуги, то формула \ref{(17.32)} имеет место для гладких кривых.

Разъясним геометрический смысл равенства \ref{(17.32)}.

Отрезок, соединяющий две точки кривой, называется \textit{хордой}, стягивающей дугу кривой с концами в этих точках. Пусть кривая $\Gamma$ кладкая и ${\bf r}(s), 0 \leqslant s \leqslant S$, - ее векторное представление, в котором в качестве параметра выбрана переменная длина дуги кривой $s \in[0,S]$.

Длина хорды, соединяющей концы радиус-векторов ${\bf r}(s_0)$ и ${\bf r}(s_0+\Delta s), s_0 \in [0,S], s_0 + \Delta s \in [0,S]$, равна длине $|\Delta {\bf r}|$ вектора $\Delta {\bf r} = {\bf r}(s_0+\Delta s) - {\bf r}(s_0)$ (рис. 94)
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{gnuplot}
set ticslevel 0
set xrange[-10:10] 
set yrange[-10:10]
set zrange[-5:5]
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1
splot sin(x)*cos(y)
\end{gnuplot}
\end{figure}

\end{document}