\documentclass{beamer}% тип документа


%подключаем пакеты
\usepackage{mathtools}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[main = russian, english]{babel}


\usepackage{amsthm, amsmath}


\usepackage{lmodern}
\usepackage{cmap}
\usepackage{pgf}
\usepackage{times}
\usepackage{utopia}


\renewcommand{\rmdefault}{cmr} % Шрифт с засечками
\renewcommand{\sfdefault}{cmss} % Шрифт без засечек
\renewcommand{\ttdefault}{cmtt} % Моноширинный шрифт


\newcommand{\kyr}[1]{\textit{#1}} %макрос для создания курсивного текста
\newcommand{\zyr}[1]{\textbf{#1}} %макрос для создания жирного текста
\newcommand{\name}[1]{\frametitle{#1}} 


%темы
\usetheme{Warsaw}
\usecolortheme{orchid}


%теоремы и определения
\newtheorem{determination}{Определение}
\newtheorem{theorema}{Теорема}
\setbeamertemplate{theorems}[numbered] %включаем нумерацию 





%титульный лист
\title{Векторные функции}
\date{}


\begin{document}% начало презентации


\begin{frame}%заголовок
\titlepage
\end{frame}


\begin{frame}%слайд с содержанием
\name{Содержание}
\tableofcontents
\end{frame}


\section{Определение векторной функции}


\begin{frame}%1 слайд
\name{Предел и непрерывность векторной функции.}
\begin{center}
Векторными функциями называются функции, значениями которых являются векторы, а аргументами -- числа.\newline

Они обозначаются жирным шрифтом: \zyr{r}(t), или с помощью черты над значениями функции: $\overline{\kyr{OM}}$\textit{(t), t $\in$ X}, где \kyr{X} -- некоторое числовое множество.
\end{center}
\end{frame}%1 слайд


\subsection{Способы задания}


\begin{frame}%2 слайд
\name{Способы задания.}
\begin{center}
Если начала всех векторов закреплены в одной и той же точке (обычно -- начало координат), то такие векторы называются \kyr{радиус-векторами}.\newline

Задание вектор-функции \zyr{r}(t), $t \in X$, эквивалентно заданию трех числовых функций $x(t), y(t), z(t), t \in X$, являющихся его координатами:\newline

\begin{equation}
\zyr{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)),   t \in X.
\end{equation}
\end{center}
\end{frame}%2 слайд


\section{Длины и скалярное произведение векторов}


\begin{frame}%3 слайд
\name{Длина.}
\begin{center}
Длина (абсолютная величина) всякого веткора \zyr{a}, обозначается |\zyr{a}| скалярное произведение векторов \zyr{a} и \zyr{b} -- через \zyr{ab} или (\zyr{a,b}), а векторное -- через $\zyr{a} \times \zyr{b}$ или $[\zyr{a,b}]$.

\begin{determination} \label{o1}
Вектор \zyr{a} называют \kyr{пределом} вектор-функции $\zyr{r}(t), t \in X$, при $t \to t_{0}$ (или в точке $t = t_{0}$) и пишут
{
\begin{equation} \label{f1}
\lim_{t \to t_{0}} \zyr{r}(t) = \zyr{a},
\end{equation}
}
если
{
\begin{equation} \label{f2}
\lim_{t \to t_{0}}|\zyr{r}(t) - \zyr{a}| = 0.
\end{equation}
}
\end{determination}
\end{center}
\end{frame}%3 слайд


\section{Пределы}
\subsection{Пример 1.}


\begin{frame}%4 слайд
\name{Пределы.}
\begin{center}
\footnotesize{
Если $\zyr{r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$ и $\zyr{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), то $|\zyr{r}(t) - \zyr{a}| = 
\begin{equation} \label{f3}
= \sqrt{[x(t)-a_{1}]^2+[y(t)-a_{2}]^2+[z(t)-a_{3}]^2}
\end{equation}
и, следовательно,
\begin{equation} \label{f4}
\begin{multlined}
|x(t)-a_{1}|\leqslant|\zyr{r}(t)-\zyr{a}|,\\
|y(t)-a_{2}|\leqslant|\zyr{r}(t)-\zyr{a}|,\\
|z(t)-a_{3}|\leqslant|\zyr{r}(t)-\zyr{a}|.\\
\end{multlined}
\end{equation}
Поэтому предел 
\begin{equation} \label{f5}
\lim_{t \to t_{0}} \zyr{r}(t) = \zyr{a}
\end{equation}
векторной функции \zyr{r}(t) существует в том и только том случае, когда существуют пределы ее координат
\begin{equation} \label{f6}
\lim_{t \to t_{0}}x(t)=a_{1}, \lim_{t \to t_{0}}y(t)=a_{2}, \lim_{t \to t_{0}}z(t)=a_{3}.
\end{equation}
}
\end{center}
\end{frame}%4 слайд


\subsection{Пример 2.}


\begin{frame}%5 слайд
\name{Пределы.}
\begin{center}
\begin{determination} \label{o2}
Если $t_{0}$ -- конечная точка и для функции \zyr{r}(t), $t \in X$, имеет место равенство
\begin{equation} \label{f7}
\lim_{t \to t_{0}} \zyr{r}(t) = \zyr{r}(t_{0}), 
\end{equation} 
то эта функция называется \kyr{непрерывной в точке $t_{0}$}.
\end{determination}
Как и в случае скалярных функций, условие выполняется тогда и только тогда, когда существует $\lim_{t \to t_{0}} \zyr{r}(t)$ и $t_{0} \in X.$\newline

Если положить $\Delta  t = t-t_{0}, \Delta  \zyr{r} = \zyr{r}(t_{0}+\Delta  t) - \zyr{r}(t_{0})$, то условие \ref{f7} примет вид $\lim{\Delta  t \to 0} \Delta \zyr{r} = 0$.
\end{center}
\end{frame}%5 слайд


\section{Основные свойства пределов векторных функций}


\begin{frame}%6 слайд
\name{Основные свойста пределов векторных функций.}
\begin{center}
\begin{itemize}
\item Если $\underset{t \to t_{0}}{\lim} \zyr{r}(t) = \zyr{a},$ то $\underset{t \to t_{0}}{\lim}|\zyr{r}(t)| = |\zyr{a}|.$\\
\item $\underset{t \to t_{0}}{\lim}[\zyr{r}_{1}(t)+\zyr{r}_{2}(t)]$ = $\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{1}(t)+\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{2}(t).$\\
\item $\underset{t \to t_{0}}{\lim}f(t)\zyr{r}(t) = \underset{t \to t_{0}}{\lim}f(t)\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}(t)  (f(t) - \kyr{скалярная функция}).$\\
\item $\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{1}(t)\zyr{r}_{2}(t)=\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{1}(t)\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{2}(t).$\\
\item $\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{1}(t)\times \zyr{r}_{2}(t)=\underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{1}(t)\times \underset{t \to t_{0}}{\lim}\zyr{r}_{2}(t)$\newline

\small{
В свойствах $2^{\circ}-5^{\circ}$ все рассматриваемые функции определены на некотором множестве $X \subset R$; предполагается, что все пределы, входящие в правые части равенств, существуют, и утверждается, что существуют пределы, стоящие в левых частях, причем имеют место написанные формулы.
}
\end{itemize}
\end{center}
\end{frame}%6 слайд


\section{Теорема о дифференцируемости векторных функций.}


\begin{frame}%7 слайд
\name{Теорема о дифференцируемости векторных функций.}
\begin{center}
\begin{theorema} \label{t1}
Если вектор-функция \zyr{r}(t) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема внутри него, то существует такая точка $\xi \in(a,b)$, что
\begin{equation} \label{f8}
|\zyr{r}(b)-\zyr{r}(o)|\leqslant|\zyr{r'}(\xi)|(b-a).
\end{equation}
\end{theorema}
$\triangleright$ Если \zyr{r}(a) = \zyr{r}(b), то неравенство \ref{f8} справедливо при любом выборе точки $\xi \in(a,b)$, так как его левая часть обращается в нуль.
\end{center}
\end{frame}%7 слайд


\section{Теорема о пределе вектор-функции.}


\begin{frame}%8 слайд
\name{Теорема о пределе вектор-функции.}
\begin{center}
\begin{theorema} \label{t2}
Пусть вектор-функция \zyr{r}(t) определена в проколотой окрестности точки $t_{0}, t_{0} \in \zyr{R}$, а \kyr{x(t)}, \kyr{y(t)} и \kyr{z(t)} - её координатные функции. Пусть, далее, $\zyr{r}_{0}$ - некоторый вектор, а $\zyr{x}_{0}, \zyr{y}_{0}, \zyr{z}_{0}$ его координаты. Вектор $\zyr{r}_{0}$ является пределом вектор-функции \zyr{r}(t) при $t \to t_{0}$ тогда и только тогда, когда его координаты являются пределами при $t \to t_{0}$ соответствующих координатных функций:
\begin{equation} \label{f9}
\zyr{r}_{0} = \underset{t \to t_{0}}{\lim}r(t) \Longleftrightarrow \left|\underset{t \to t_{0}}{\lim}x(t)=x_{0}, \underset{t \to t_{0}}{\lim}y(t)=y_{0},\underset{t \to t_{0}}{\lim}z(t)=z_{0}\right|
\end{equation}
\end{theorema}
\end{center}
\end{frame}%8слайд

\end{document}