%Определение вида документа. Обязвтельно для презентаций beamer
\documentclass{beamer}

%Кирилическая кодировка utf
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[english,russian]{babel}
\newtheorem{opr}{Определение}
\newtheorem{theor}{Теорема}

%Стилевые пакеты, которые могут понадобится
\usepackage{cmlgc}
\usepackage{pgf}
\usepackage{times}
\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage{natbib}
\usepackage{esint}
\usepackage{amsmath}

%ВАРИАНТЫ ОБЩЕГО ДИЗАЙНА СЛАЙДА
%СНИМИТЕ КОММЕНТАРИЙ С НУЖНОГО И
%''ЗАКОММЕНТИРУЙТЕ'' ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ
%\usetheme[secheader]{Madrid}
%\usetheme{Malmoe}
%\usetheme{Warsaw}
%\usetheme[secheader]{Boadilla}
%\usetheme[compress]{Dresden}
%\usetheme[compress]{Singapore}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{Luebeck}
%\usetheme[right]{Berkeley}
%\usetheme{PaloAlto}
\usetheme{Marburg}
%\usetheme{Goettingen}
%\usecolortheme{sidebartab}

%ОФОРМЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СЛАЙДА И ЦВЕТОВАЯ СХЕМА
%\useinnertheme{default}
%\useinnertheme{rectangles}
\useoutertheme[subsection=false]{smoothbars}

\usecolortheme{rose}
%\usecolortheme{seahorse}
%\usecolortheme{whale}
%\usecolortheme{orchid}
%\usecolortheme{dolphin}
%\logo{{\includegraphics[width=0.08\textwidth]{cs-logo.eps}}}

%КОЛОНТИТУЛЫ
\setbeamercovered{dynamic}
\setbeamertemplate{footline}
{
  \leavevmode%
    \hbox{%
      \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{author in head/foot}%
          \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
            \end{beamercolorbox}%
              \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{title in head/foot}%
                  \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle
                    \end{beamercolorbox}%
                      \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,right]{date in head/foot}%
                          \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{2em}
                              \hyperlink{content}{\insertframenumber{} / \inserttotalframenumber\hspace*{2ex}}
                                \end{beamercolorbox}}%
                                  \vskip0pt%
                                  }
                                  
                                  \setlength{\parskip}{0.5em}
                                  
                                  %АВТОР, НАЗВАНИЕ, ОРГАНИЗАЦИЯ, ДАТА
                                  \title[Лаб. раб. 5]
                                    {\texorpdfstring{Лабораторная работа 5}}
                                    \author[Петраков]
                                    {\texorpdfstring{Петраков Назар Викторович}{}}
                                    \date{\texorpdfstring{28 мая 2020 г.}{}}
                                    \institute[Орг.]
                                      {ПетрГУ}
                                      
                                      %Конец преамбулы
                                      \begin{document}
                                      
                                      %ТИТУЛЬНЫЙ СЛАЙД
                                      \begin{frame}
                                       \begin{center}
                                          % ОРГАНИЗАЦИЯ, НАЗВАНИЕ И ДОКЛАДЧИК
                                          
                                          
                                             {\insertinstitute}
                                                \vspace{0.5em}
                                                   \hrule
                                                      \vspace{2em}
                                                      
                                                          \vspace{1em}
                                                          
                                                              \Large \bfseries \inserttitle
                                                                  
                                                                    \end{center}
                                                                    
                                                                      \vspace{1em}
                                                                      
                                                                        \begin{description}
                                                                         
                                                                           \item[Должность: Студент]\ \\
                                                                               Петраков Н. В., \\группа 22101
                                                                                 \end{description}
                                                                                 \end{frame}
                                                                                 
                                                                                 %СЛАЙД СОДЕРЖАНИЯ С МЕТКОЙ
                                                                                 \label{content}
                                                                                 \begin{frame}
                                                                                  \frametitle{Содержание}
                                                                                    \vspace{1.5em}
                                                                                      \tableofcontents
                                                                                        \vspace{1.5em}
                                                                                        \end{frame}
                                                                                        
                                                                                        %ПЕРВЫЙ СЛАЙД ПРЕЗЕНТАЦИИ. НАЧАЛО ПЕРВОГО РАЗДЕЛА
                                                                                        \section[Решение систем уравнений. Метод Гаусса(1)]{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(1)}
                                                                                         
                                                                                         \begin{frame}
                                                                                           \frametitle{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(1)}
                                                                                             Рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений размерностью $(m$ x $n).$ Запишем систему в матричном виде $A * X = B$ 
                                                                                               \begin{equation}
                                                                                                 \label{num:1}
                                                                                                   \begin{pmatrix}
                                                                                                     a_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}&\\
                                                                                                       a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& a_{2n}&\\
                                                                                                         .& .& .& ...& .&\\
                                                                                                           a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& ...& a_{mn}&\\
                                                                                                           \end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
                                                                                                             X_1\\
                                                                                                               X_2\\
                                                                                                                 ...\\
                                                                                                                   X_n
                                                                                                                   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
                                                                                                                     b_1\\
                                                                                                                       b_2\\
                                                                                                                         ..\\
                                                                                                                           b_m
                                                                                                                           \end{pmatrix}
                                                                                                                           \end{equation}\\
                                                                                                                           Если закрепить раз и навсегда нумерацию неизвестных, то можно опустить неизвестные в записи системы и записать ее в виду матрицы, отделяя столбец свободных членов вертикальной чертой.
                                                                                                                           \begin{equation}
                                                                                                                           \label{num:2}
                                                                                                                           \bar B = (A|B) = 
                                                                                                                           \begin{pmatrix}
                                                                                                                           
                                                                                                                             a_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}& |& b_{1}& \\
                                                                                                                               a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& a_{2n}& |& b_{2}&\\
                                                                                                                                 .& .& .& ...& .& |& b_{3}&\\
                                                                                                                                   a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& ...& a_{mn}& |& b_{m}&\\
                                                                                                                                   \end{pmatrix}
                                                                                                                                   \end{equation}
                                                                                                                                     %\begin{itemize} \setlength{\itemsep}{0.7cm}%
                                                                                                                                       {\bf  }
                                                                                                                                          
                                                                                                                                          \end{frame}
                                                                                                                                          
                                                                                                                                          \section{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(2)}
                                                                                                                                          \begin{frame}
                                                                                                                                              \frametitle{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(2)}
                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                       
                                                                                                                                                          Следующие действия над расширенной матрицей системы называются {\bfseriesэлементарными преобразованиями}.
                                                                                                                                                             \begin{itemize}
                                                                                                                                                              
                                                                                                                                                                \item Умножение или деление элементов строк на одно и то же число, не равное нулю
                                                                                                                                                                  \item Перестановка двух строк
                                                                                                                                                                    \item Прибавление к элементам строки элементов другой строки, умноженных на произвольный множитель
                                                                                                                                                                        \end{itemize}
                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                   \end{frame}
                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                   \section{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(3)}
                                                                                                                                                                                   \begin{frame}
                                                                                                                                                                                       \frametitle{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(3)}
                                                                                                                                                                                           Конечной целью элементарных преобразований является получение верхнеугольной матрицы, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования стараются производить так, чтобы на главной лиагонали появлялись единицы.
                                                                                                                                                                                             $$\begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                               a_{11}& a_{12}& a_{13}& |& b_{1}& \\
                                                                                                                                                                                                 a_{21}& a_{22}& a_{23}& |& b_{2}&\\
                                                                                                                                                                                                   a_{31}& a_{32}& a_{33}& |& b_{3}&\\
                                                                                                                                                                                                   \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                     1& c_{12}& c_{13}& |& d_{1}& \\
                                                                                                                                                                                                       0& 1& c_{23}&  |& d_{2}&\\
                                                                                                                                                                                                         0& 0& 1& |& d_{3}&\\
                                                                                                                                                                                                         \end{pmatrix}$$
                                                                                                                                                                                                         Далее решаем получившуюся систему уравнений уже известным нам способом - подстановкой.
                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                         \end{frame}
                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                         \section{Ранг матрицы(1)}
                                                                                                                                                                                                         \begin{frame}
                                                                                                                                                                                                             \frametitle{Ранг матрицы(1)}
                                                                                                                                                                                                                  \begin{opr}
                                                                                                                                                                                                                      {\bfseriesРангом} матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
                                                                                                                                                                                                                      \end{opr}
                                                                                                                                                                                                                      Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется {\bfseriesбазисным минорм}. Он может быть единственным.\\
                                                                                                                                                                                                                      Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы, ее приводят к треугольному виду.
                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                      \end{frame}
                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                      \section{Ранг матрицы(2)}
                                                                                                                                                                                                                      \begin{frame}
                                                                                                                                                                                                                          \frametitle{Ранг матрицы(2)}
                                                                                                                                                                                                                              \begin{opr}
                                                                                                                                                                                                                                  {\bfseriesРанг} матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, приведенной к треугольному виду
                                                                                                                                                                                                                                  \end{opr}
                                                                                                                                                                                                                                  $$A = \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                    1& 3& 2\\
                                                                                                                                                                                                                                    0& 5& 4\\
                                                                                                                                                                                                                                    -1& 7& 6& \end{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                    \sim \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                    1& 3& 2\\
                                                                                                                                                                                                                                    0& 5& 4\\
                                                                                                                                                                                                                                    0& 10& 8&
                                                                                                                                                                                                                                    \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                    1& 3& 2\\
                                                                                                                                                                                                                                    0& 5& 4\\
                                                                                                                                                                                                                                    0& 0& 0
                                                                                                                                                                                                                                    \end{pmatrix} \Rightarrow $$\\$$\Rightarrow  r(A) = 2 $$
                                                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                    \end{frame}
                                                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                    \section{Исследование систем линейных уравнений}
                                                                                                                                                                                                                                    \begin{frame}
                                                                                                                                                                                                                                        \frametitle{Исследование систем линейных уравнений}
                                                                                                                                                                                                                                            \begin{center}
                                                                                                                                                                                                                                              Теорема Кронекера-Капелли\end{center}
                                                                                                                                                                                                                                                  \begin{theor}
                                                                                                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                                                        Для того, чтобы система линенйных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы коэффициентов: $r(\bar B) = r(A)$
                                                                                                                                                                                                                                                        \end{theor}
                                                                                                                                                                                                                                                        Если $r(\bar B) = r(A) = n$ (числу неизвестных), то система совместна и определена(имеет единственное решение).
                                                                                                                                                                                                                                                        Если $r(\bar B) = r(A) < n$, то система совместна и неопределена(имеет бесконечное множество решений).
                                                                                                                                                                                                                                                        Если $r(\bar B) \neq r(A) $
                                                                                                                                                                                                                                                        \end{frame}
                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                                                        \section{Однородные системы линейных уравнений(1)}
                                                                                                                                                                                                                                                        \begin{frame}
                                                                                                                                                                                                                                                            \frametitle{Однородные системы линейных уравнений(1)}
                                                                                                                                                                                                                                                                \begin{opr}
                                                                                                                                                                                                                                                                   Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены ее равны нулю
                                                                                                                                                                                                                                                                   \end{opr}
                                                                                                                                                                                                                                                                     \begin{equation}
                                                                                                                                                                                                                                                                       \label{num:3}
                                                                                                                                                                                                                                                                        \begin{cases}
                                                                                                                                                                                                                                                                         a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = 0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                          a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                           ...........................................\\
                                                                                                                                                                                                                                                                            a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = 0
                                                                                                                                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                                                                                                                                             \end{cases}
                                                                                                                                                                                                                                                                             \end{equation}
                                                                                                                                                                                                                                                                             Однородная система всегда имеет решение:
                                                                                                                                                                                                                                                                             $ x_1 = 0 $ $x_2 = 0$ ... $x_n = 0$
                                                                                                                                                                                                                                                                             Это решение называется тривиальным. оно является единственным решением системы в случае, когда $r(A) = n$. Если $r(A) < n$, то система имеет бесконечное множество решений.
                                                                                                                                                                                                                                                                             \end{frame}
                                                                                                                                                                                                                                                                             \section{Однородные системы линейных уравнений(2)}
                                                                                                                                                                                                                                                                             \begin{frame}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 \frametitle{Однородные системы линейных уравнений(2)}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 Пусть: $r(A) = r < n$
                                                                                                                                                                                                                                                                                 Тогда система имеет $r$ базисных переменных и $n e r$ свободных переменных.
                                                                                                                                                                                                                                                                                 Общее решение системы запишется в виде:
                                                                                                                                                                                                                                                                                 X = \begin{equation}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 \label{num:4}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 x_1(t_1,...,t_{n-r})\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                 ...\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                 x_r(t_1,...,t_{n-r})\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                                                                                                                                                 \end{pmatrix}\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                 \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 t_1\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                 ...\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                 t_{n-r}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 \end{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                 \end{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                    \end{equation}
                                                                                                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                    \end{frame}
                                                                                                                                                                                                                                                                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                    \section{Однородные системы линейных уравнений(3)}
                                                                                                                                                                                                                                                                                    \begin{frame}
                                                                                                                                                                                                                                                                                        \frametitle{Однородные системы линейных уравнений(3)}
                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                                                                                        \smallВыберем $n - r$ частных решений однородной системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из значений свободных переменных равным 1, а остальные равными 0:\begin{equation}
                                                                                                                                                                                                                                                                                        X_1 = 
                                                                                                                                                                                                                                                                                        \label{num:4}
                                                                                                                                                                                                                                                                                        \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                        x_1(1,0,.,0)\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        .\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        x_r(1,0,.,0)\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        1\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        .\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                        x_1(0,1,.,0)\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        .\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        x_r(0,1,.,0)\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        1\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        .\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                        x_1(0,0,.,1)\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        .\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        x_r(0,0,.,1)\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        0\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        .\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        1\\
                                                                                                                                                                                                                                                                                        \end{pmatrix}
                                                                                                                                                                                                                                                                                           \end{equation}
                                                                                                                                                                                                                                                                                              Эти решения образуют фундаментальную систему решений однородной системы (ФСР).
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
                                                                                                                                                                                                                                                                                              \end{frame}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  \end{document}
                                                                                                                                                                                                                                                                                                  