%Определение вида документа. Обязвтельно для презентаций beamer \documentclass{beamer} %Кирилическая кодировка utf \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \newtheorem{opr}{Определение} \newtheorem{theor}{Теорема} %Стилевые пакеты, которые могут понадобится \usepackage{cmlgc} \usepackage{pgf} \usepackage{times} \usepackage{amssymb, amsmath} \usepackage{natbib} \usepackage{esint} \usepackage{amsmath} %ВАРИАНТЫ ОБЩЕГО ДИЗАЙНА СЛАЙДА %СНИМИТЕ КОММЕНТАРИЙ С НУЖНОГО И %''ЗАКОММЕНТИРУЙТЕ'' ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ %\usetheme[secheader]{Madrid} %\usetheme{Malmoe} %\usetheme{Warsaw} %\usetheme[secheader]{Boadilla} %\usetheme[compress]{Dresden} %\usetheme[compress]{Singapore} %\usetheme{Copenhagen} %\usetheme{Luebeck} %\usetheme[right]{Berkeley} %\usetheme{PaloAlto} \usetheme{Marburg} %\usetheme{Goettingen} %\usecolortheme{sidebartab} %ОФОРМЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СЛАЙДА И ЦВЕТОВАЯ СХЕМА %\useinnertheme{default} %\useinnertheme{rectangles} \useoutertheme[subsection=false]{smoothbars} \usecolortheme{rose} %\usecolortheme{seahorse} %\usecolortheme{whale} %\usecolortheme{orchid} %\usecolortheme{dolphin} %\logo{{\includegraphics[width=0.08\textwidth]{cs-logo.eps}}} %КОЛОНТИТУЛЫ \setbeamercovered{dynamic} \setbeamertemplate{footline} { \leavevmode% \hbox{% \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{author in head/foot}% \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor \end{beamercolorbox}% \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{title in head/foot}% \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle \end{beamercolorbox}% \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,right]{date in head/foot}% \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{2em} \hyperlink{content}{\insertframenumber{} / \inserttotalframenumber\hspace*{2ex}} \end{beamercolorbox}}% \vskip0pt% } \setlength{\parskip}{0.5em} %АВТОР, НАЗВАНИЕ, ОРГАНИЗАЦИЯ, ДАТА \title[Лаб. раб. 5] {\texorpdfstring{Лабораторная работа 5}} \author[Петраков] {\texorpdfstring{Петраков Назар Викторович}{}} \date{\texorpdfstring{28 мая 2020 г.}{}} \institute[Орг.] {ПетрГУ} %Конец преамбулы \begin{document} %ТИТУЛЬНЫЙ СЛАЙД \begin{frame} \begin{center} % ОРГАНИЗАЦИЯ, НАЗВАНИЕ И ДОКЛАДЧИК {\insertinstitute} \vspace{0.5em} \hrule \vspace{2em} \vspace{1em} \Large \bfseries \inserttitle \end{center} \vspace{1em} \begin{description} \item[Должность: Студент]\ \\ Петраков Н. В., \\группа 22101 \end{description} \end{frame} %СЛАЙД СОДЕРЖАНИЯ С МЕТКОЙ \label{content} \begin{frame} \frametitle{Содержание} \vspace{1.5em} \tableofcontents \vspace{1.5em} \end{frame} %ПЕРВЫЙ СЛАЙД ПРЕЗЕНТАЦИИ. НАЧАЛО ПЕРВОГО РАЗДЕЛА \section[Решение систем уравнений. Метод Гаусса(1)]{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(1)} \begin{frame} \frametitle{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(1)} Рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений размерностью $(m$ x $n).$ Запишем систему в матричном виде $A * X = B$ \begin{equation} \label{num:1} \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}&\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& a_{2n}&\\ .& .& .& ...& .&\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& ...& a_{mn}&\\ \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} X_1\\ X_2\\ ...\\ X_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ ..\\ b_m \end{pmatrix} \end{equation}\\ Если закрепить раз и навсегда нумерацию неизвестных, то можно опустить неизвестные в записи системы и записать ее в виду матрицы, отделяя столбец свободных членов вертикальной чертой. \begin{equation} \label{num:2} \bar B = (A|B) = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}& |& b_{1}& \\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& a_{2n}& |& b_{2}&\\ .& .& .& ...& .& |& b_{3}&\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& ...& a_{mn}& |& b_{m}&\\ \end{pmatrix} \end{equation} %\begin{itemize} \setlength{\itemsep}{0.7cm}% {\bf } \end{frame} \section{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(2)} \begin{frame} \frametitle{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(2)} Следующие действия над расширенной матрицей системы называются {\bfseriesэлементарными преобразованиями}. \begin{itemize} \item Умножение или деление элементов строк на одно и то же число, не равное нулю \item Перестановка двух строк \item Прибавление к элементам строки элементов другой строки, умноженных на произвольный множитель \end{itemize} \end{frame} \section{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(3)} \begin{frame} \frametitle{Решение систем уравнений. Метод Гаусса(3)} Конечной целью элементарных преобразований является получение верхнеугольной матрицы, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования стараются производить так, чтобы на главной лиагонали появлялись единицы. $$\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& |& b_{1}& \\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& |& b_{2}&\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& |& b_{3}&\\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1& c_{12}& c_{13}& |& d_{1}& \\ 0& 1& c_{23}& |& d_{2}&\\ 0& 0& 1& |& d_{3}&\\ \end{pmatrix}$$ Далее решаем получившуюся систему уравнений уже известным нам способом - подстановкой. \end{frame} \section{Ранг матрицы(1)} \begin{frame} \frametitle{Ранг матрицы(1)} \begin{opr} {\bfseriesРангом} матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. \end{opr} Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется {\bfseriesбазисным минорм}. Он может быть единственным.\\ Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы, ее приводят к треугольному виду. \end{frame} \section{Ранг матрицы(2)} \begin{frame} \frametitle{Ранг матрицы(2)} \begin{opr} {\bfseriesРанг} матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, приведенной к треугольному виду \end{opr} $$A = \begin{pmatrix} 1& 3& 2\\ 0& 5& 4\\ -1& 7& 6& \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1& 3& 2\\ 0& 5& 4\\ 0& 10& 8& \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1& 3& 2\\ 0& 5& 4\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix} \Rightarrow $$\\$$\Rightarrow r(A) = 2 $$ \end{frame} \section{Исследование систем линейных уравнений} \begin{frame} \frametitle{Исследование систем линейных уравнений} \begin{center} Теорема Кронекера-Капелли\end{center} \begin{theor} Для того, чтобы система линенйных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы коэффициентов: $r(\bar B) = r(A)$ \end{theor} Если $r(\bar B) = r(A) = n$ (числу неизвестных), то система совместна и определена(имеет единственное решение). Если $r(\bar B) = r(A) < n$, то система совместна и неопределена(имеет бесконечное множество решений). Если $r(\bar B) \neq r(A) $ \end{frame} \section{Однородные системы линейных уравнений(1)} \begin{frame} \frametitle{Однородные системы линейных уравнений(1)} \begin{opr} Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены ее равны нулю \end{opr} \begin{equation} \label{num:3} \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = 0\\ ...........................................\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} \end{equation} Однородная система всегда имеет решение: $ x_1 = 0 $ $x_2 = 0$ ... $x_n = 0$ Это решение называется тривиальным. оно является единственным решением системы в случае, когда $r(A) = n$. Если $r(A) < n$, то система имеет бесконечное множество решений. \end{frame} \section{Однородные системы линейных уравнений(2)} \begin{frame} \frametitle{Однородные системы линейных уравнений(2)} Пусть: $r(A) = r < n$ Тогда система имеет $r$ базисных переменных и $n e r$ свободных переменных. Общее решение системы запишется в виде: X = \begin{equation} \label{num:4} \begin{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1(t_1,...,t_{n-r})\\ ...\\ x_r(t_1,...,t_{n-r})\\ \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} t_1\\ ...\\ t_{n-r} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \end{equation} \end{frame} \section{Однородные системы линейных уравнений(3)} \begin{frame} \frametitle{Однородные системы линейных уравнений(3)} \smallВыберем $n - r$ частных решений однородной системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одно из значений свободных переменных равным 1, а остальные равными 0:\begin{equation} X_1 = \label{num:4} \begin{pmatrix} x_1(1,0,.,0)\\ .\\ x_r(1,0,.,0)\\ 1\\ 0\\ .\\ 0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1(0,1,.,0)\\ .\\ x_r(0,1,.,0)\\ 0\\ 1\\ .\\ 0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1(0,0,.,1)\\ .\\ x_r(0,0,.,1)\\ 0\\ 0\\ .\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{equation} Эти решения образуют фундаментальную систему решений однородной системы (ФСР). \end{frame} \end{document}