\documentclass{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[T2A,T1]{fontenc} \usepackage{amssymb} \setcounter{page}{259} \title{lab3} \date{} \usepackage{natbib} \usepackage{graphicx} \begin{document} \noindent$\triangleright$ В самом деле, перейдя в левой части неравенства (23.9) к верхней грани по разбиениям $\tau{_1}$, получим что для любого разбиения $\tau{_2}$ выполняется неравенство $I{_*}$\,$\leqslant$\,$ S_{\tau_2} $.Перейдя здесь к нижней грани по $\tau{_2}$, получим $I{_*}$\,$\leqslant$\,$I{^*}$. $\triangleleft$\\ \indentИнтегралы $I{_*}$ и $I{^*}$ понадобятся нам ниже при доказательстве критерия интегрируемости функции.\\ {\bfseries23.5.\,\, Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций.} Т\,е\,о\,р\,е\,м\,а 2. {\slshape Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем, необходимо и достаточно, чтобы разность верхних и нижних сумм Дарбу стремилась к нулю, когдамелкость разбиений отрезка стремится к нулю:}\\ \begin{equation} \label{one} \lim_{\tau \rightarrow 0}(S_{\tau}-s_{\tau}) = 0 \end{equation} {\slshapeСледствие . Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, b] функция $f$ была на нем интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы} \begin{equation} \label{two} \lim_{\tau \rightarrow 0}\sum_{k=1}^{k_{\tau}}\omega_{k}(f)\triangle x_{k} \end{equation} \slshapeгде $\tau = \left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ — разбиение отрезка [a,b], а \, $ \omega_{k}$ ($f$) — колебание функции $f$ на отрезке $[x_{k-1}, x_{k}], k =1,2,...,k_{\tau}.$\\ \noindent\upshape $ \triangleright $ Н\,е\,о\,б\,х\,о\,д\,и\,м\,о\,с\,т\,ь. Пусть ограниченная на отрезке [{\slshape a,b}] функция $ f $ интегрируема на этом отрезке и $I=\int_{a}^{b}f(x)dx$. Тогда $ \lim\limits_{|\tau|\rightarrow 0} \sigma_{\tau} = I$. Поэтому для любого $\varepsilon$ > 0 существует такое $\delta$ > 0, что, каковы бы ни были разбиение $\tau$ = $\left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ отрезка [{\slshape a,b}], имеющее мелкость $|\tau| < \delta,$ и точки $\xi_{k} \in [x_{k-1}, x_{k}], k =1,2,...,k_{\tau}$, для интегральной суммы $\sigma_{\tau} = \sigma_{\tau} (f; \xi_{1} ;..., \xi_{k_\tau})$ выполняется равенство \\ \begin{equation} \label{three} I - \varepsilon < \sigma_{\tau} < I + \varepsilon \end{equation} \indentПереходя в неравенстве (\ref{three}) к нижней и верхней граням относительно точек $\xi_{1}, \xi_{2}$,...,$\xi_{k_\tau}$, в силу свойств сумм Дарбу (23.14) и (23.15) получим $$I - \varepsilon \leqslant s_{\tau} \leqslant S_{\tau} \leqslant I + \varepsilon $$\\ \indentТаким образом, если $|\tau| < \delta$, то $0 \leqslant S_{\tau} - s_{\tau} \leqslant 2\varepsilon$. Отсюда сразу и следует, что $$ \lim_{\tau \rightarrow 0}(S_{\tau}-s_{\tau}) = 0 $$ \indentД\,о\,с\,т\,а\,т\,о\,ч\,н\,о\,с\,т\,ь. Пусть функция $f$ ограничена на отрезке [{\slshape a,b}] и для ее сумм Дарбу выполняется условие (\ref{one}). Из определения нижнего $I{_*}$ и верхнего $I{^*}$ интегралов (см. п. 23.4) и неравенства (23.19) имеем \begin{equation} \label{four} s_{\tau} \leqslant I{_*} \leqslant I{^*} \leqslant S_{\tau} \end{equation} \noindentПоэтому $0 \leqslant I^* - I_* \leqslant S_\tau s_\tau$. Отсюда в силу условия (\ref{one}) следует, что $I^* - I_* = 0$. Обозначим общее значение нижнего и верхнего интегралов через $I$, т. е. $I = I_* = I^*$. Из (\ref{four}) будем иметь $s_\tau \leqslant I \leqslant S_\tau$, но любая интегральная сумма $\delta_\tau$ также лежит между суммами Дарбу $s_\tau$ и $S_\tau$ (см. (23.8)): $s_\tau \leqslant \delta_\tau \leqslant S_\tau$, поэтому |$\delta_\tau - I| \leqslant S_\tau - s_\tau$. Отсюда в силу условия (\ref{one}) следует, что $ \lim\limits_{|\tau|\rightarrow 0}|\delta_\tau - I| = 0 $. Это означает, что существует предел интегральных сумм $$ \lim\limits_{|\tau|\rightarrow 0}\delta_\tau = I, \eqno{(23.24)}$$ т. е. функция $f$ интегрируема, причем $$ \int_{a}^{b}f(x)dx = I.\,\,\,\triangleleft \eqno{(23.25)}$$ \indentСледствие непосредственно вытекает из свойства (23.16) сумм Дарбу: условие (23.21) равносильно в силу указанного свойства условию (23.20). \indentТ\,е\,о\,р\,е\,м\,а 3. {\slshape если фукнция $f$ интегрируема на отрезке [a,b], а $s_\tau$ и $S_\tau$ - ее суммы Дарбу, то } $$ \lim\limits_{|\tau|\rightarrow 0}s_\tau = \lim\limits_{|\tau|\rightarrow 0}S_\tau = \int_{a}^{b}f(x)dx\eqno{(23.26)} $$ \noindent$\triangleright$\,\,\,\, Если функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, то согласно теореме 2 выполняется условие (23.20). При доказательстве теоремы 2 было показано, что при выполнении этого условия верхний интеграл функции совпадает с ее нижним интегралом: $I_* = I^* = I$ (а поэтому в силу (23.23) $s_{\tau} \leqslant I \leqslant S_{\tau}$), и что $I = \int_{a}^{b}f(x)dx$. Следовательно, $0 \leqslant I - s_\tau \leqslant S_{\tau} - s_\tau$. Отсюда в силу невыполнения условия (23.20) следует, что $\lim\limits_{|\tau|\rightarrow 0}(I - s_\tau) = 0 $ и $\lim\limits_{|\tau|\rightarrow 0} (S_\tau - I) = 0 $. А это равносильно существованию пределов (23.26). $\triangleleft$\\\\ \indent{\bfseries23.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.}\\\\ \indentТ\,е\,о\,р\,е\,м\,а 4. {\slshape Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем.} \noindent$\triangleright$ \,\,\,\,Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она, во-первых, ограничена на нем, а во-вторых, равномерно непрерывна. Последнее означает, что для любого $\varepsilon > 0 $ существует такое $\delta > 0$, что для всех точек $x \in [a,b]$ и $x^\prime \in [a,b]$, таких, что $|x^\prime - x| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon$. \indentВозьмем для отрезка $[a,b]$ какое-либо разбиение $\tau = \left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ мелкости $|\tau| < \delta$. Тогда для любых двух точек $x$ и $x^\prime$, принадлежащих одному и тому же отрезку разбиения $\tau, x \in [x_k - x_{k-1}], x^\prime \in [x_k - x_{k-1}] $, имеет место неравенство $|x^\prime - x| \leqslant x_k - x_{k-1} = \triangle x_k \leqslant |\tau| < \delta$, а поэтому и неравенство $|f(x^\prime) - f(x)| < \varepsilon$. Отсюда следует, что колебание $\omega_k (f)$ функции $f$ на отрезке $[x_k - x_{k-1}] $ удовлетворяет неравенству $$ \omega_k (f) = %\adjustlimits\sup_{x,x^\prime \in[x_{k} - x_{k-1}]} |f(x^{\prime}) - f(x)$$ \leqslant \varepsilon \eqno{(23.27)}$$ Следовательно, $$0 \leqslant \sum_{k=1}^{k_{\tau}}\omega_k (f)\triangle x_k \leqslant_{(23.27)} \varepsilon \sum_{k=1}^{k_{\tau}}\triangle x_k = \varepsilon(b - ). \eqno{(23.28)}$$ Поскольку $\varepsilon$ было произвольным положительным числом, то неравенство (23.28) означает, что $\sum_{k=1}^{k_{\tau}}\omega_k (f)\triangle x_k = 0 $. Поэтому в силу следствия 1 теоремы 2 функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]. \triangleleft$\\ \indentТ\,е\,о\,р\,е\,м\,а 5. {\slshape Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на нем.}\\ \noindent$\triangleright$ пусть для определенности функция $f$ возрастает на отрезке $[a,b]$. Тогда, в частности, для любого $x \in [a,b]$ выполняется неравенство $$ f(a) \leqslant f(x) \leqslant f(b) $$ и, следовательно, функция $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$. Очевидно также, что в силу возрастания функции $f$ для любого разбиения $\tau = \left\{x_{k}\right\}_{k=0}^{k=k_{\tau}}$ отрезка $[a,b]$ имеют место равенства $$m_k = \adjustlimits\inf_{x \in[x_k - x_{k-1}]} f(x) = f(x_{k-1}),$$ $$M_k = \adjustlimits\sup_{x \in[x_k - x_{k-1}]}f(x) = f(x_k).\eqno{(23.29)} $$ Поэтому, заметив, что $$x_k - x_{k-1} = \triangle x_k \leqslant |\tau|, k = 1,2,...,k_\tau \eqno{(23.30)}$$ и что $x_0 = a, x_{k_\tau} = b, $ получим $$ S_\tau - s_\tau = \sum_{k=1}^{k_{\tau}}(M_k - m_k)\triangle x_k = \sum_{k=1}^{k_{\tau}}[f(x_k) - f(x_{k-1})]\triangle x_k \leqslant_{(23.30)} \\$$ $$ \leqslant_{(23.30)}[(f(x_1) - f(x_0)) + (f(x_2) - f(x_1)) + ...$$\\$$... + (f(x_{k_\tau}) - f(x_{k_{\tau} - 1}))]|\tau| = [f(b) - f(a)]|\tau|$$\ \end{document}