%Определение стиля документа
\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{book}
\usepackage{indentfirst}


%Необходимо для использования кириллических символов в кодировке utf-8
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\inputencoding{utf8}

%Подключаем графические пакеты, которые пригодятся в конце семестра
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{epsfig,graphicx}

%Шрифты американского математического сообщества
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy} %применим колонтитул
\fancyhf{}
\fancyhead[LO,RE]{\thepage} %номера страниц
\fancyhead[CO]{{\itshape Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной}}
\fancyhead[CE]{{\itshape \S 10. Производная и дифференциал}} 

%Определим новую команду, чтобы быстрее набирать символ вероятности
\newcommand{\Prb}{{\bf P}}

%Теоремы
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defi}{Определение}
\newtheorem{theor}{Теорема}
\newtheorem{atn}{Замечание}

%Символ матем. ожидания
\newcommand{\M}{{\bf\sf E}}


%Отменим указание даты в заголовке документа
\date{}

%Конец преамбулы --- начало основного текста
\begin{document}
\textit{изводные; при этом имеют место формулы}

\begin{equation}
    \label{one}
    \left(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2\right)^\prime =\lambda_1y_1^\prime
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{two}
    \left(y_1y_2\right)^\prime = y_1^\prime y_2+y_1y_2^\prime
\end{equation}
\begin{equation}
    \label{three}
    \left(\frac{y_1}{y_2}\right)^\prime = \frac{y_1^\prime y_2 - y_1y_2^\prime}{y^2_2}
\end{equation}

\textit{(В формулах (\ref{one})—(\ref{two}) значения всех функций взяты при $x = x_0$.}

$\triangleright$Прежде всего заметим, что в силу условий теоремы в точке $x_0$ существуют конечные пределы
$$ \lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{\Delta{y_1}}{\Delta{x}} = y_2^\prime, \;\;\lim_{\Delta{x} \to 0} \frac{\Delta{y_2}}{\Delta{x}} = y_2^\prime.$$

Докажем теперь последовательно формулы (\ref{one})—(\ref{three}).

\;\;\;\;\;$1)$Пусть $y = \lambda_1y_1+\lambda_2y_2$; тогда

$\Delta{y} = \left(\lambda_1\left(y_1+\Delta{y_1}\right)
+\lambda_2\left(y_2+\Delta{y_2}\right)\right)-\left(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2\right) =\lambda_1\Delta{y_1}+\lambda_2\Delta{y_2}$

и, следовательно,

$$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \lambda_1\frac{\Delta{y_1}}{\Delta{x}} + \lambda_2\frac{\Delta{y_2}}{\Delta{x}} $$

Перейдя здесь к пределу при $\Delta{x}\to0$, получим формулу (\ref{one}).

\;\;\;\;\;$2)$Пусть $y = y_1y_2$; тогда

\;\;\;\;\;$\Delta{y} = \left(y_1+\Delta{y_1}\right)\left(y_2+\Delta{y_2}\right) -y_1y_2 = y_2\Delta{y_1}+ y_1\Delta{y_2}+\Delta{y_1}\Delta{y_2}$,

откуда
\begin{equation}
    \label{four}
    \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{\Delta{y_1}}{\Delta{x}}y_2+y_1\frac{\Delta{y_2}}{\Delta{x}}+\frac{\Delta{y_1}}{\Delta{x}}\Delta{y_2}.
\end{equation}

\;\;\;\;\;Заметив, что в силу непрерывности функции $f_2$ в точке $x_0$ выполняется условие $\lim\limits_{{x\to0}} \Delta{y_2} = 0$, и, перейдя в равенсте (\ref{four}) к пределу при $\Delta{x}\to0$, получим формулу (\ref{two})

\;\;\;\;\;3) Пусть $f_2(x_0)\neq 0$  и $y = \frac{y_1}{y_2}$; тогда
$$ \Delta{y} = \frac{y_1+\Delta{y_1}}{y_2+\Delta{y_2}} - \frac{y_1}{y_2} = \frac{y_2\Delta{y_1}-y_1\Delta{y_2}}{y_2(y_2+\Delta{y_2})}, $$
следовательно,
$$\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{\frac{\Delta{y_1}}{\Delta{x}}y_2-y_2\frac{\Delta{y_2}}{\Delta{x}}}{y_2(y_2+\Delta{y_2})}$$
Перейдя здесь к пределу при $\Delta{x}\to0$, получим формулу (\ref{three}).$\triangleleft$

\;\;\;\;\;Отметим, что из формулы \ref{one} при $y_2 = 0$(так же, как и из формулы (\ref{two}), когда функция $y_2$ равна постоянной, а поэтому $y_2^\prime = 0$ следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т.е.

$$({\lambda y)^\prime = \lambda y^\prime, \;\;\;\;\; \lambda \in R.}$$

\textbf{Пример.} Вычислим производную функции $\tg x$. Применяя формулу (\ref{three}), получим

$$(\tg x)^\prime = \left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right)^\prime = \frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}} = \frac{1}{\cos^2{x}}.$$
Итак,
\begin{equation}
\label{five}
    (\tg{x})^\prime=\frac{1}{\cos^2{x}}.
\end{equation}
Аналогично выполняется
$$(\ctg{x})^\prime = -\frac{1}{\sin^2{x}}$$

\textbf{Замечание.} Поскольку $dy = y^\prime dx$,то умножая формулы (\ref{one})-(\ref{three}) на $dx$, получим
$$d(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2) = \lambda_1dy_1+\lambda_2dy_2, $$
$$d(y_1y_2) = y_2dy_1 + y_1dy_2, $$
$$d\frac{y_1}{y_2} = \frac{y_2dy_1-y_1dy_2}{y_2^2}.$$

\textbf{10.6. Производная обратной функции.}
\theoremstyle{definition}
\begin{theor}
\textit{ Если функция $f$ непрерывна и строго монотонна в окрестности точки $x_0$ и имеет в точке $x_0$ производную $f^\prime(x_0) \neq 0$, то обратная функция $f^-1$ имеет производную в точке $y_0 = f(x_0)$ и }
\end{theor}

\begin{equation}
\label{six}
\frac{df^-1(y_0)}{dy} = \frac{1}{\frac{df(x_0)}{dx}}.
\end{equation}


$\triangleright$ Пусть функция $f$ строго монотонна и непрерына в окрестности $U=U(x_0)$ в точке $x_0$;тогда обратная функция $f^-1$ строго монотонна и непрерывна на интервале $V=f(U)$ (см. теорему 4 п. 7.3). Поэтому если $\Delta x = x-x_0, \Delta y = y-y_0$, то для функции $y = f(x)$ имеет место $\lim\limits_{\Delta x\to 0} \Delta y=0$ и $\Delta{y} \neq 0$ при $\Delta{x} \neq 0$, а для функции $x = f^{-1}(y)$ — соответственно $\lim\limits_{\Delta y\to 0} \Delta x=0$ и $\Delta x \neq 0$ при $\Delta y \neq 0$. Заметив это, вычислим производную обратной функции следующим образом:
\begin{equation}
\label{seven}
\left.\frac{dx}{dy}\right|_{y=y_0} = \lim\limits_{\Delta y\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta y} = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \frac{1}{\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta x}{\Delta y}} = \left.\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\right|_{x=x_0} \triangleleft
\end{equation}

\textbf{Замечание}. Если функция $f$ непрерывна и строго монотонна в окрестности точки $x_0$ и существует $f^\prime(x_0) = 0$, то обратная функция $f^{-1}$ имеет в точке $y_0 = f(x_0)$ бесконечную производную $\frac{df^{-1}(y_0)}{dx} = \infty$. Это сразу следует из соотношения (\ref{seven}).

\textbf{Примеры. 1.} Если
$$y = \arcsin x, -1 \leq x \leq 1, \;\;\;\;-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}, \;\;\;\; x = \sin y,$$
то
$$(\arcsin x)^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin y^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

\textbf{2.} Если $y = \arccos x,\; -1 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq \pi, x = \cos y,$ то
$$(\arccos x )^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = -\frac{1}{\sin y} = -\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2y}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

\textbf{3.} Если $y = \arctg x,\;-\infty < x < +\infty, \; -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}, \; x = \tg y$, то
$$(\arctg x)^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \cos^2y = \frac{1}{1+\tg^2y} = \frac{1}{1+x^2}.$$

\textbf{4.} Аналогично,
$$(\arctg x )^\prime = -\frac{1}{1+x^2}.$$

\textbf{5.} Если $y = \log_ax$, $a>0, a\neq1, x>0, -\infty < y < +\infty, x = a^y $, то 
$$(\log_ax)^\prime = \frac{dy}{dx} =  \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{a^y\ln a} = \frac{1}{x \ln a},$$
в частности,
$$(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}.$$

\textbf{10.7. Производная и дифференциал сложной функции}
Пусть функция $y = f(x) $ задана в некоторой окрестности $U = U(x_0)$ точки $x_0$, а функция $z =  g(y)$ — в некоторой окрестности $V = V(y_0)$ точки $y_0 = f(x_0)$, причем $f(U)\subset V$ и следовательно, определена сложная функция
$$ F(x) = g(f(x)). $$

\theoremstyle{definition}
\begin{theor}
\textit{Если функция $y = f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $z=g(y)$ имеет производную в точке $y_0 = f(x_0)$, то сложная функция $z = F(x) = g(f(x))$ также имеет в точке $x_0$ производную, причем}
\end{theor}
\begin{equation}
\label{eight}
F^\prime(x_0) = g^\prime(y_0)f^\prime(x_0),
\end{equation}
или, опуская значение аргумента
\begin{equation}
\label{nine}
z^\prime_x = z^\prime_yy^\prime_x.
\end{equation}
$\triangleright$ Пусть, как всегда, $\Delta x = x - x_0,\Delta y = y - y_0 $ и $\Delta z = g(y) - g(y_0)$;
тогда в силу дифференцируемости функции $g$ в точке $y_0$ будем иметь (см.(10.11))
\begin{equation}
\label{ten}
\Delta z  = g^\prime(y_0)\Delta y + \epsilon(\Delta y)\Delta y, \;\;\;\; \lim\limits_{\Delta y\to 0} \epsilon(\Delta y) = 0.
\end{equation}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{exp.eps}
\quad\mbox{}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\caption{Экспонента.}
\label{freq_dist}
\end{figure}
\end{document}