%Определение вида документа. Обязвтельно для презентаций beamer
\documentclass{beamer}

%Кирилическая кодировка utf
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[english,russian]{babel}
\newtheorem{opr}{Определение}
\newtheorem{theor}{Теорема}

%Стилевые пакеты, которые могут понадобится
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{cmap}
\usepackage{cmlgc}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{times}
\usepackage{amssymb, amsmath}

%ВАРИАНТЫ ОБЩЕГО ДИЗАЙНА СЛАЙДА
%СНИМИТЕ КОММЕНТАРИЙ С НУЖНОГО И
%''ЗАКОММЕНТИРУЙТЕ'' ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ
%\usetheme[secheader]{Madrid}
\usetheme{Malmoe}
%\usetheme{Warsaw}
%\usetheme[secheader]{Boadilla}
%\usetheme[compress]{Dresden}
%\usetheme[compress]{Singapore}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{Luebeck}
%\usetheme[right]{Berkeley}
%\usetheme{PaloAlto}
%\usetheme{Marburg}
%\usetheme{Goettingen}
%\usecolortheme{sidebartab}

%ОФОРМЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СЛАЙДА И ЦВЕТОВАЯ СХЕМА
%\useinnertheme{default}
\useinnertheme{rectangles}
%\useoutertheme[subsection=false]{smoothbars}

\usecolortheme{rose}
%\usecolortheme{seahorse}
%\usecolortheme{whale}
%\usecolortheme{orchid}
%\usecolortheme{dolphin}
%\logo{{\includegraphics[width=0.08\textwidth]{cs-logo.eps}}}

%КОЛОНТИТУЛЫ
\setbeamercovered{dynamic}
\setbeamertemplate{footline}
{
  \leavevmode%
  \hbox{%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,right]{date in head/foot}%
    \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{2em}
    \hyperlink{content}{\insertframenumber{} / \inserttotalframenumber\hspace*{2ex}}
  \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}

\setlength{\parskip}{0.5em}

%АВТОР, НАЗВАНИЕ, ОРГАНИЗАЦИЯ, ДАТА
\title[Лабораторная работа №5]
  {\texorpdfstring{Лабораторная работа 5}}
\author[Захаров М.]
{\texorpdfstring{Захаров М.}{}}
\date{\texorpdfstring{24.05.20}{24}}
\institute[Орг.]
  {ПетрГУ}

%Конец преамбулы
\begin{document}

%титульный 
\begin{frame}
 \begin{center}
   % ОРГАНИЗАЦИЯ, НАЗВАНИЕ И ДОКЛАДЧИК


   {\insertinstitute}
   \vspace{1em}
   \hrule
   \vspace{2em}

    \Large \inserttitle
    
  \end{center}

  \vspace{1em}

  \begin{description}
    \item[Выполнил] Захаров Марк\\22101, ИМИТ 
  \end{description}
\end{frame}

%СЛАЙД СОДЕРЖАНИЯ С МЕТКОЙ
\label{content}
\begin{frame}
 \frametitle{Содержание презентации}
  \vspace{1.5em}
  \tableofcontents
  \vspace{1.5em}
\end{frame}


%ПЕРВЫЙ СЛАЙД ПРЕЗЕНТАЦИИ. НАЧАЛО ПЕРВОГО РАЗДЕЛА
\section[Линейная комбинация]{Определение линейной комбинации}
\begin{frame}
  \frametitle{Линейная комбинация}

\begin{deff}
Линейной комбинацией векторов ${\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots , \overline{x_n}}$ называется сумма
\end{deff}
\begin{equation}
\label{second}
    \lambda_1\overline{x_1} + \lambda_2\overline{x_2} + \dots + \lambda_n \overline{x_n}
\end{equation}
\begin{deff}
Линейная комбинация векторов $\lambda_1\overline{x_1} + \lambda_2\overline{x_2} + \dots + \lambda_n \overline{x_n}$ называется нетривиальной, если числа $\lambda_1, \lambda_2,\dots , \lambda_n$ не равны одновременно нулям: $(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_n) \neq (0, 0, \dots , 0)$.
\end{deff}
\end{frame}

\section{Определение линейной зависимости}
\begin{frame}
\begin{deff}
  Система векторов ($\overline{x_1},\dots, \overline{x_n}$) называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:
\end{deff}
\begin{equation}
\label{first}
\lambda_1 \overline{x_1} + \dots + \lambda_n \overline{x_n} = 0, (\lambda_1,\dots,\lambda_n) \neq (0,\dots,0)
\end{equation}
\end{frame}
    
\section{Теорема 1}
\begin{frame}
    \frametitle{Теорема 1}
    \begin{theor}
Если хотя бы один из векторов $\overline{x_1},\dots, \overline{x_n}$ является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.
    \end{theor}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Доказательство теоремы 1}
\begin{proof}
Пусть первый вектор $\overline{x_1} = 0$. Тогда
существует нетривиальная линейная комбинация векторов
$1 \times \overline{x_1} + 0 \times \overline{x_2} + \dots + 0 \times \overline{x_n} = 0.$

Значит, векторы $\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n}$ линейно зависимы.

Теорема доказана
\end{proof}
\end{frame}

\section{Теорема 2} 
\begin{frame}
\frametitle{Теорема 2}
\begin{theor}
Если среди $n$ векторов $\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n}$ какие–либо $m < n$
векторов линейно зависимы, то и все векторы $\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n}$ линейно
зависимы.

\end{theor}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Доказательство теоремы 2}
\begin{proof}
Поскольку при перестановке местами векторов в системе векторов
$\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n}$ линейная зависимость или линейная независимость системы не меняется, то перестановкой можно добиться, чтобы первые $m <
 n$ векторов $\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_m}$ были линейно зависимыми. Но тогда найдется
такая нетривиальная линейная комбинация
$$\lambda_1 \overline{x_1} + \dots + \lambda_m \overline {x_m} = 0 $$
Но тогда справедливо следующее равенство: 
$$\lambda_1\overline{x_1} + \dots + \lambda_m\overline{x_m} + 0 \times \overline{x_{m+1}} + \dots + 0 \times \overline{x_n} = 0,$$ т. е. вся система векторов $\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots , \overline{x_n}$ является линейно зависимой. Теорема доказана

\end{proof}
\end{frame}
\end{document}