\documentclass[16pt,20 paper]{scrartcl}
\usepackage[left=1cm,right=0.2cm,top=-0.1cm,bottom=0cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{misccorr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{cmap}
\usepackage{epsfig, graphicx, euscript}
\usepackage{epstopdf}
\begin{document}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
  \begin{flushleft}
\textbf{450} 	
  \end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.47\textwidth}
  \begin{flushright}
 \textit {\S33.}
\textit{Интегралы от неограниченных функций }	
  \end{flushright}
\end{minipage}
\begin{flushright}

\end{flushright}
\begin{center}
  Если a$<\eta<\eta'<b$,то в силу неотрицательности функции \textit f
 \end{center}
$$\int\limits_\eta^{\eta'}f(x)dx\geq0$$,
поэтому$$\varphi(\eta')=\int\limits_a^{\eta'}f(x)dx=\int\limits_a^\eta f(x)dx+\int\limits_\eta^{\eta'}f(x)dx\geq\int\limits_a^\eta f(a)dx=\varphi(\eta),$$

т.е. $\varphi$ является монотонно возрастающей функцией. Поэтому\\
предел $\lim\limits_{\eta\to b-0}\varphi(\eta)$ конечный или бесконечный всегда существует\\
(см. п. 4.8); при этом этот предел конечен тогда и только тогда,\\
когда функция $\varphi$ огничена сверху, т.е когда выполняется\\
условие (33.8).

Наконец (см. п. 4.8),

$$\int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\eta\to b-0}\varphi(\eta)=\sup\limits_{a\leqslant\eta\textless b}\varphi(\eta)$$

т.е. имеет место формула (33.9).\\
Теорема доказана
Из теоремы 1 следует также, что, для того чтобы несобствен-\\ный интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ расходился, необходимо и достаточно, чтобы\\ функция $\varphi(\eta)$ была не ограничена сверху, но тогда в силу ее моно-\\тонности
$$\lim\limits_{\eta\to b-0}\varphi(\eta)=\lim\limits_{\eta\to b-0}\int\limits_a^\eta f(x)dx=+\infty.$$

Поэтому, если несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ от неотрицательной функции $f$ расходится, то пишут $$\int\limits_a^b f(x)dx=+\infty.$$
В дальнейшем в настоящем пункте мы будем всегда предполагать, что\\
1) функции $f$ и $g$ определены и неотрицательны $f \geqslant 0, g \geqslant 0$ на [a,b);\\2) интегрируемы по Риману на любом отрезке $[a, b - \varepsilon],\varepsilon\textgreater0.$
\newpage
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
  \begin{flushleft}
  \textit {\S33.}
\textit{Интегралы от неограниченных функций }	
	
  \end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \begin{flushright}
 	\textbf{451} 
  \end{flushright}
\end{minipage}
\\
Нижесформулированные и доказанные теоремы называются\\ обычно признаками сравнения сходимости несобственных интегралов\\
\textbf{Теорема 2.} Пусть$$f(x)=0(g(x)), x\rightarrow b-0^*),$$
тогда:\\
1) если интеграл$\int\limits_a^b g(x)dx$ сходится, то сходится и интеграл\\ $\int\limits_a^b f(x)dx$;\\
2) если интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ расходится, то расходится и ин-\\теграл $\int\limits_a^b g(x)dx$.\\
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$ сходится. Из\\ условия (33.11) следует существование такого $\eta_{0}\in[a,b)$ и такого\\ $\varepsilon \textgreater0$, что для всех x$\in[\eta_{0},b)$ выполняется неравенство$$f(x)\leqslant cg(x)$$
см. п. 8.2). Из сходимости интеграла $\int\limits_a^b g(x)dx$ следует и сходи-\\мость интеграла $\int\limits_\eta_{0}^b g(x)dx$. В силу же необходимости условий\\ теоремы 1 для сходимости интеграла, существует такое число\\ M\textless0, для любого $\eta\in[\eta_{0},b)$ справедливо неравенство
$$\int\limits_{\eta_{0}}^{b} g(x)dx \le M.$$
Отсюда и из неравенства (33.12) имеем\\
$$\int\limits_{\eta_{0}}^{\eta} f(x)dx\le c \int\limits_{\eta_{0}}^{\eta} g(x)dx\le cM.$$
\newpage
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
  \begin{flushleft}
\textbf{452} 	
  \end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \begin{flushright}
 \textit {\S33.}
\textit{Интегралы от неограниченных функций }	
  \end{flushright}
\end{minipage}\\
Из этого неравенства, в силу достаточности условый теоремы 1\\ для сходимости интеграла от неотрицательной функции получаем,\\ что интеграл $\int\limits_{\eta_{0}}^{\eta} f(x)dx$, а следовательно, и интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$схо-\\дится.\\
Утверждение 1 теоремы доказано. Докажем второе.\\
Если интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$ расходится, то интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$ не \\может сходится: если бы он сходился, то в силу уже доказанного \\сходился бы и интеграл $\int\limits_a^b f(x)dx$. Таким образом, интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$ \\расходится.\\
Теорема доказана.\\ С л е д с т в и е. Пусть $g(x)\neq0, a\leq x \textgreater b$, и $$\lim\limits_{\eta\to b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=k,$$
тогда:\\
1) если интеграл $\int\limits_a^b g(x)dx$\\ сходится и $0\leq k\textgreater +\infty$, то и интеграл$$\int\limits_a^b f(x)dx$$ также сходится;\\2) если интеграл $$\int\limits_a^b g(x)dx$$\\ расходится и $0 \textgreater k \leq \infty$, то и интеграл$$\int\limits_a^b f(x)dx$$ также расходится.\\В частности, если $f\sim g$ (см. п. 8.3), то интегралы$ \int\limits_a^+\infty f(x)dx и \int\limits_a^+\infty g(x)dx$ сходятся или расходятся одновременно.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics{krv.eps}
\quad\mbox{}
\end{center}
\vspace{-7mm}
\caption{Sin(x).}
\label{freq_dist}
\end{figure}
\end{document}