%Определение вида документа. Обязвтельно для презентаций beamer
\documentclass{beamer}

%Кирилическая кодировка utf
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[english,russian]{babel}
\newtheorem{opr}{Определение}
\newtheorem{theor}{Теорема}

%Стилевые пакеты, которые могут понадобится
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{cmap}
\usepackage{cmlgc}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{times}
\usepackage{amssymb, amsmath}

%ВАРИАНТЫ ОБЩЕГО ДИЗАЙНА СЛАЙДА
%СНИМИТЕ КОММЕНТАРИЙ С НУЖНОГО И
%''ЗАКОММЕНТИРУЙТЕ'' ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ
%\usetheme[secheader]{Madrid}
%\usetheme{Malmoe}
\usetheme{Warsaw}
%\usetheme[secheader]{Boadilla}
%\usetheme[compress]{Dresden}
%\usetheme[compress]{Singapore}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{Luebeck}
%\usetheme[right]{Berkeley}
%\usetheme{PaloAlto}
%\usetheme{Marburg}
%\usetheme{Goettingen}
%\usecolortheme{sidebartab}

%ОФОРМЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СЛАЙДА И ЦВЕТОВАЯ СХЕМА
%\useinnertheme{default}
\useinnertheme{rectangles}
%\useoutertheme[subsection=false]{smoothbars}

%\usecolortheme{rose}
\usecolortheme{seahorse}
%\usecolortheme{whale}
%\usecolortheme{orchid}
%\usecolortheme{dolphin}
%\logo{{\includegraphics[width=0.08\textwidth]{cs-logo.eps}}}

%КОЛОНТИТУЛЫ
\setbeamercovered{dynamic}
\setbeamertemplate{footline}
{
  \leavevmode%
  \hbox{%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,right]{date in head/foot}%
    \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{2em}
    \hyperlink{content}{\insertframenumber{} / \inserttotalframenumber\hspace*{2ex}}
  \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}

\setlength{\parskip}{0.5em}

%АВТОР, НАЗВАНИЕ, ОРГАНИЗАЦИЯ, ДАТА
\title[Лаб. раб. 5]
  {\texorpdfstring{Лабораторная работа 5}}
\author[Лотник]
{\texorpdfstring{Лотник Дарья Андреевна}{}}
\date{\texorpdfstring{20 апреля 2020 г.}{April 20, 2020}}
\institute[Орг.]
  {ПетрГУ}

%Конец преамбулы
\begin{document}

%ТИТУЛЬНЫЙ СЛАЙД
\begin{frame}
 \begin{center}
   % ОРГАНИЗАЦИЯ, НАЗВАНИЕ И ДОКЛАДЧИК


   {\insertinstitute}
   \vspace{0.5em}
   \hrule
   \vspace{2em}

    \vspace{1em}

    \Large \bfseries \inserttitle
    
  \end{center}

  \vspace{1em}

  \begin{description}
 
  \item[Должность: Студент]\ \\
    Лотник Д.А., \\гр. 22101
  \end{description}
\end{frame}

%СЛАЙД СОДЕРЖАНИЯ С МЕТКОЙ
\label{content}
\begin{frame}
 \frametitle{Содержание}
  \vspace{1.5em}
  \tableofcontents
  \vspace{1.5em}
\end{frame}

%ПЕРВЫЙ СЛАЙД ПРЕЗЕНТАЦИИ. НАЧАЛО ПЕРВОГО РАЗДЕЛА
\section[Производная и дифференциал]{Производная и дифференциал векторной функции.}
 
\begin{frame}
  \frametitle{Производная и дифференциал векторной функции.}
  Пусть векторная функция ${\bf r}(t)$ задана в некоторой окрестности точки $t_0$; тогда соотношение $\displaystyle \frac{{\bf r}(t)-{\bf r}(t_0)}{t-t_0}$ определено в соответствующей проколотой окрестности точки $t_0$.
  %\begin{itemize} \setlength{\itemsep}{0.7cm}%
  {\bf  }
   
\end{frame}

\section{Производная векторной функции}
\begin{frame}
    \frametitle{Производная векторной функции.}
    
     \begin{opr}
   Предел $\lim\limits_{t \to t_0}\displaystyle \frac{{\bf r}(t)-{\bf r}(t_0)}{t-t_0}$(если он, конечно, существует) называется {\itshape производной векторной функции} ${\bf r}(t)$ в точке $t_0$ и обозначается ${\bf r}^{'}(t_0)$ или ${\bf r}(t_0)$.
  \end{opr}
\end{frame}

\section{Производная в точке $t_0$}
\begin{frame}
    \frametitle{Производная в точке $t_0$}
    Пусть ${\bf r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$. Так как
 $$
 \frac{{\bf r}(t)-{\bf r}(t_0)}{t-t_0}=\left( \frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}, \frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0}, \frac{z(t)-z(t_0)}{t-t_0}\right),
 $$
 то в силу (16.9), (16.10) для того, чтобы векторная функция ${\bf r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$ имела производную в точке $t_0$, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты $x(t)$,$y(t)$,$z(t)$ имели производные в точке $t_0$, причем в этом случае
 {
 \begin{equation}
     \label{num:1}
     {\bf r^{'}}(t_0)=(x^{'}(t_0), y^{'}(t_0), z^{'}(t_0))
 \end{equation}
 }
\end{frame}

\section{Скорость изменения вектора}
\begin{frame}
    \frametitle{Скорость изменения вектора}
     Производную ${\bf r^{'}}(t)$ вектор-функции ${\bf r}(t)$ называют также {\itshape скоростью изменение вектора} ${\bf r}(t)$ относительно параметра $t$. В случае когда длина вектора ${\bf r}(t)$ не меняется, производная ${\bf r^{'}}(t)$ назвается также и {\itshape скоростью вращения вектора} ${\bf r}(t)$, а ее абсолюная величина - {\itshape численным значением скорости его вращения}.
\end{frame}

\section{Диффер. вектор-функция}
\begin{frame}
    \frametitle{Дифференцируемая вектор-функция}
    \begin{opr}
Вектор-функция ${\bf r}(t)$, заданная в некоторой окрестности точки $t_0$, называется {\itshape дифференцируемой при $t=t_0$}, если ее приращение $\Delta {\bf r}={\bf r}(t_0+ \Delta t)-{\bf r}(t_0)$ в точке $t_0$ представимо в виде
\end{opr}

{
\begin{equation}
    \label{num:2}
    \Delta {\bf r}={\bf a} \Delta t+{\bf o}(\Delta t), \Delta t \to 0.
\end{equation}
}
\end{frame}

\section{Теорема}
\begin{frame}
    \frametitle{Теорема}
    \begin{theor}
Если вектор функция ${\bf r}(t)$ непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема внутри него, то существует такая точка $\varepsilon \in(a,b)$, что 
\end{theor}
\begin{equation}
    \label{num:3}
    |{\bf r}(b)-{\bf r}(0)|= |{\bf r}^{'}(\varepsilon)|(b-a)
\end{equation}
\end{frame}
  
\end{document}