ПетрГУ

Лабораторная работа 5

Должность: Студент Лотник Д.А., гр. 22101

Содержание Производная и дифференциал векторной функции.

Пусть векторная функция r(t) задана в некоторой окрестности точки t_{0}; тогда соотношение \frac{r(t) − r(t_{0})}{t − t_{0}} определено в соответствующей проколотой окрестности точки t_{0}.

Лотник  Лаб. раб. 5  20 апреля 2020 г.  3 / 1

Производная векторной функции.

Определение Предел lim_{t→t_{0}} \frac{r(t) − r(t_{0})}{t − t_{0}}(если он, конечно, существует) называется производной векторной функции r(t) в точке t_{0} и обозначается r′(t_{0}) или r(t_{0}).

Лотник  Лаб. раб. 5  20 апреля 2020 г.  4 / 1

Производная в точке t_{0}

Пусть r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Так как

\frac{r(t) − r(t_{0})}{t − t_{0}}= (\frac{x(t) − x(t_{0})}{t − t_{0}}, \frac{y(t) − y(t_{0})}{t − t_{0}}, \frac{z(t) − z(t_{0})}{t − t_{0}}) ,

то в силу (16.9), (16.10) для того, чтобы векторная функция r(t) = (x(t), y(t), z(t)) имела производную в точке t_{0}, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты x(t),y(t),z(t) имели производные в точке t_{0}, причем в этом случае

r′(t_{0}) = (x′(t_{0}), y′(t_{0}), z′(t_{0}))  (1)

Скорость изменения вектора

Производную r′(t) вектор-функции r(t) называют также скоростью изменение вектора r(t) относительно параметра t. В случае когда длина вектора r(t) не меняется, производная r′(t) назвается также и скоростью вращения вектора r(t), а ее абсолюная величина - численным значением скорости его вращения.

Дифференцируемая вектор-функция

Определение Вектор-функция r(t), заданная в некоторой окрестности точки t_{0}, называется дифференцируемой при t = t_{0}, если ее приращение Δr = r(t_{0} + Δt) − r(t_{0}) в точке t_{0} представимо в виде

Δr = aΔt + o(Δt), Δt → 0.  (2)

Теорема

Теорема Если вектор функция r(t) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема внутри него, то существует такая точка ε ∈ (a, b), что

|r(b) − r(0)| = |r′(ε)|(b − a)  (3)