450

�33. Интегралы от неограниченных функций

Если a< η < η′ < b,то в силу неотрицательности функции f

∫_{η}^{η′} f(x)dx ≥ 0

, поэтому

φ(η′) = ∫_{a}^{η′} f(x)dx = ∫_{a}^{η} f(x)dx + ∫_{η}^{η′} f(x)dx ≥ ∫_{a}^{η} f(a)dx = φ(η),

т.е. φ является монотонно возрастающей функцией. Поэтому предел lim_{η→b−0} φ(η) конечный или бесконечный всегда существует

(см. п. 4.8); при этом этот предел конечен тогда и только тогда, когда функция φ огничена сверху, т.е когда выполняется условие (33.8).

Наконец (см. п. 4.8),

∫_{a}^{b} f(x)dx = lim_{η→b−0} φ(η) = sup_{a⩽η<b} φ(η)

т.е. имеет место формула (33.9). Теорема доказана Из теоремы 1 следует также, что, для того чтобы несобствен-

ный интеграл ∫_{a}^{b} f(x)dx расходился, необходимо и достаточно, чтобы

функция φ(η) была не ограничена сверху, но тогда в силу ее монотонности

lim_{η→b−0} φ(η) = lim_{η→b−0} ∫_{a}^{η} f(x)dx = +∞.

Поэтому, если несобственный интеграл ∫_{a}^{b} f(x)dx от неотрицательной функ-

ции f расходится, то пишут

∫_{a}^{b} f(x)dx = +∞.

В дальнейшем в настоящем пункте мы будем всегда предполагать, что

1) функции f и g определены и неотрицательны f ⩾ 0, g ⩾ 0 на [a,b);

2) интегрируемы по Риману на любом отрезке [a, b − ε], ε > 0.

�33. Интегралы от неограниченных функций

451

Нижесформулированные и доказанные теоремы называются обычно признаками сравнения сходимости несобственных интегралов Теорема 2. Пусть

f(x) = 0(g(x)), x → b − 0^{∗}),

тогда:

1) если интеграл∫_{a}^{b} g(x)dx сходится, то сходится и интеграл

∫_{a}^{b} f(x)dx;

2) если интеграл ∫_{a}^{b} f(x)dx расходится, то расходится и ин-

теграл ∫_{a}^{b} g(x)dx.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть интеграл ∫_{a}^{b} g(x)dx сходится. Из

условия (33.11) следует существование такого η_{0} ∈ [a, b) и такого ε > 0, что для всех x∈ [η_{0}, b) выполняется неравенство

f(x) ⩽ cg(x)

см. п. 8.2). Из сходимости интеграла ∫_{a}^{b} g(x)dx следует и сходи-

мость интеграла ∫_{η} _{0}^{b}g(x)dx. В силу же необходимости условий

теоремы 1 для сходимости интеграла, существует такое число M<0, для любого η ∈ [η_{0}, b) справедливо неравенство

∫_{η_{0}}^{b} g(x)dx ≤ M.

Отсюда и из неравенства (33.12) имеем

∫_{η_{0}}^{η} f(x)dx ≤ c ∫_{η_{0}}^{η} g(x)dx ≤ cM.

452

�33. Интегралы от неограниченных функций

Из этого неравенства, в силу достаточности условый теоремы 1 для сходимости интеграла от неотрицательной функции получаем,

что интеграл ∫_{η_{0}}^{η} f(x)dx, а следовательно, и интеграл ∫_{a}^{b} f(x)dxсходится. Утверждение 1 теоремы доказано. Докажем второе.

Если интеграл ∫_{a}^{b} f(x)dx расходится, то интеграл ∫_{a}^{b} g(x)dx не

может сходится: если бы он сходился, то в силу уже доказанного

сходился бы и интеграл ∫_{a}^{b} f(x)dx. Таким образом, интеграл ∫_{a}^{b} g(x)dx расходится. Теорема доказана. С л е д с т в и е. Пусть g(x) ≠ 0, a ≤ x > b, и

lim_{η→b−0} \frac{f(x)}{g(x)} = k,

тогда:

1) если интеграл ∫_{a}^{b} g(x)dx

сходится и 0 ≤ k > +∞, то и интеграл

∫_{a}^{b} f(x)dx

также сходится;

2) если интеграл

∫_{a}^{b} g(x)dx

расходится и 0 > k ≤ ∞, то и интеграл

∫_{a}^{b} f(x)dx

также расходится.

В частности, если f ∼ g (см. п. 8.3), то интегралы∫_{a}^{+} ∞f(x)dx ∫_{a}^{+} ∞g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.