%Определение вида документа. Обязвтельно для презентаций beamer
\documentclass{beamer}

%Кирилическая кодировка utf
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[english,russian]{babel}
\newtheorem{opr}{Определение}
\newtheorem{theor}{Теорема}

%Стилевые пакеты, которые могут понадобится
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{cmap}
\usepackage{cmlgc}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{times}
\usepackage{amssymb, amsmath}

%ВАРИАНТЫ ОБЩЕГО ДИЗАЙНА СЛАЙДА
%СНИМИТЕ КОММЕНТАРИЙ С НУЖНОГО И
%''ЗАКОММЕНТИРУЙТЕ'' ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ
%\usetheme[secheader]{Madrid}
%\usetheme{Malmoe}
%\usetheme[secheader]{Boadilla}
%\usetheme[compress]{Dresden}
%\usetheme[compress]{Singapore}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{Luebeck}
%\usetheme[right]{Berkeley}
%\usetheme{PaloAlto}
%\usetheme{Marburg}
\usetheme{Goettingen}
%\usecolortheme{sidebartab}

%ОФОРМЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СЛАЙДА И ЦВЕТОВАЯ СХЕМА
\useinnertheme{default}
%\useinnertheme{rectangles}
%\useoutertheme[subsection=false]{smoothbars}

%\usecolortheme{rose}
%\usecolortheme{whale}
\usecolortheme{orchid}
%\usecolortheme{dolphin}
%\logo{{\includegraphics[width=0.08\textwidth]{cs-logo.eps}}}

%КОЛОНТИТУЛЫ
\setbeamercovered{dynamic}
\setbeamertemplate{footline}
{
  \leavevmode%
  \hbox{%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,right]{date in head/foot}%
    \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{2em}
    \hyperlink{content}{\insertframenumber{} / \inserttotalframenumber\hspace*{2ex}}
  \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}

\setlength{\parskip}{0.5em}

%АВТОР, НАЗВАНИЕ, ОРГАНИЗАЦИЯ, ДАТА
\title[Лабораторная работа 5]
  {\texorpdfstring{Лабораторная работа 5}}
\author[Дюккиева]
{\texorpdfstring{Дюккиева Анна Павловна}{}}
\date{\texorpdfstring{2 июня 2020 г.}{June 2, 2020}}
\institute[Орг.]
  {ПетрГУ}

%Конец преамбулы
\begin{document}

%ТИТУЛЬНЫЙ СЛАЙД
\begin{frame}
 \begin{center}
   % ОРГАНИЗАЦИЯ, НАЗВАНИЕ И ДОКЛАДЧИК


   {\insertinstitute}
   \vspace{0.5em}
   \hrule
   \vspace{2em}

    \vspace{1em}

    \Large \bfseries \inserttitle
    
  \end{center}

  \vspace{1em}

  \begin{description}
 
  \item[Должность: Студент]\ \\
    Дюккиева А. П., \\гр. 22101
  \end{description}
\end{frame}

%СЛАЙД СОДЕРЖАНИЯ С МЕТКОЙ
\label{content}
\begin{frame}
 \frametitle{Содержание}
  \vspace{1.5em}
  \tableofcontents
  \vspace{1.5em}
\end{frame}

%ПЕРВЫЙ СЛАЙД ПРЕЗЕНТАЦИИ. НАЧАЛО ПЕРВОГО РАЗДЕЛА
\section[Непрерывность функции в точке]{Непрерывность функции в точке}
 
\begin{frame}
  \frametitle{Непрерывность функции в точке.}
 Функция ${f}$, определенная на интервале ${(a;b)}$, называется непрерывной в точке ${x_0\in (a;b)}$, если
 {
 \begin{equation}
     \label{num:1}
     {\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).}
 \end{equation}
 }

  %\begin{itemize} \setlength{\itemsep}{0.7cm}%
  {\bf  }
   
\end{frame}

\section{Точка разрыва функции}
\begin{frame}
    \frametitle{Точка разрыва функции.}
    
     \begin{opr}
   Пусть тепеть функция $f$ определена на интервале ${(a;b)}$ , кроме, может быть, точки ${x_0\in (a;b)}$. Если функция $f$ не непрерывна в точке $x_0$, то точка $x_0$ называется точкой разрыва функции $f$.
  \end{opr}
\end{frame}

\section{Несколько определений}
\begin{frame}
    \frametitle{Несколько определений}
 
 \begin{opr}
 Если $x_0$ - точка разрыва функции $f$ и существуют конечные пределы
 $$
 f(x_0-0)=\lim_{x\to x_0 -0}f(x)\quad\mbox{и}\quad f(x_0+0)=\lim_{x\to x_0+0}f(x), 
 $$
 то точка $x_0$ называется точкой разрыва первого рода. Величина ${f(x_0+0)-f(x_0-0)}$ называется скачком функции $f$ в точке $x_0$.
 Если ${f(x_0-0)=f(x_0+0)}$, то $x_0$ называется точкой устранимого разрыва.
 \end{opr}
\end{frame}

\section{Приращение аргумента и функции}
\begin{frame}
    \frametitle{Приращение аргумента и функции}
     Разность ${x-x_0}$ называется приращением аргумента и обозначается ${\bigtriangleup x}$, а разность ${f(x0-f(x_0)}$ - приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента ${\bigtriangleup x}$, и обозначается ${\bigtriangleup y}$; таким образом, 
     {
     \begin{equation}
     \label{num:2}
     {\bigtriangleup x=x-x_0,\quad \bigtriangleup y=f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0).}
 	\end{equation}
     }
\end{frame}

\section{Точка разрыва второго рода}
\begin{frame}
    \frametitle{Точка разрыва второго рода}
    Точка разрыва функции $f$, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, в точках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов ${\lim_{x\to x_0+0}f(x)}$ и ${\lim_{x\to x_0-0}f(x)}$ не существует.

\end{frame}

\section{Свойства функций, непрерывных в точке}
\begin{frame}
    \frametitle{Свойства функций, непрерывных в точке}
    \begin{theor}
Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $x_0$, то функции $cf$(c-постоянное) ${f+g}$, $fg$, а если, кроме того, ${g(x_0)\ne 0}$, то и функция $\frac{f}{g}$-также непрерывна в точке $x_0$.
\end{theor}

\end{frame}
  
\end{document}