%Определение стиля документа
\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{book}
\usepackage{indentfirst}


%Необходимо для использования кириллических символов в кодировке utf-8
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\inputencoding{utf8}

%Подключаем графические пакеты, которые пригодятся в конце семестра
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{epsfig,graphicx}

%Шрифты американского математического сообщества
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

%Колонтитулы
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy} %применим колонтитул
\fancyhf{}
\fancyhead[LO,RE]{\thepage} %номера страниц
\fancyhead[CO]{{\itshape 20.4 Инвариантность формы первого дифферинциала}}
\fancyhead[CE]{{\itshape \S 20. Частные производные. Дифференцируемость}} 

%Для создания кривой
\usepackage[dvips]{graphics} 
\usepackage{cmap} 
\usepackage{epsfig, graphicx, euscript} 
\usepackage{epstopdf}

%Определим новую команду, чтобы быстрее набирать символ вероятности
\newcommand{\Prb}{{\bf P}}

%Теоремы
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{opr}{Определение}
\newtheorem{zam}{Замечание}

%Символ матем. ожидания
\newcommand{\M}{{\bf\sf E}}


%Отменим указание даты в заголовке документа
\date{}

%Конец преамбулы --- начало основного текста
\begin{document}

{то целесообразно вычислить деффиринциал этой функции, тогда искомыми частными производными будут коэффициенты при соответствующих дифференциалах.}

{Так, в рассмотреном примере $z$ = arctg $\frac{y}{x}$; беря коэффициенты при {\itshape dx}  и {\itshape dy} из найденного нами выражения для дифференциала, получим
$$
\frac{dz}{dz}=-\frac{y}{x^2+y^2},  \frac{dz}{dy}=\frac{x}{x^2+y^2}
$$
}

{
\theoremstyle{definition}
\begin{zam} 
Всякую функцию $y=f(x_{1}, \ldots x_{n})$ {\itshape от n переменных можно расматривать в определенном смысле и как функцию от любого числа n+m>n переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots , x_{n+m}$.} Именно, для всякой функции $f(x_{1}, \ldots x_{n})$, заданной на множестве $E \subset E^n$, 
определим функцию $f^*(x_{1}, \ldots, x_{n}, \ldots , x_{n+m})$ на множество точек $(x_{1}, \ldots, x_{n}, \ldots , x_{n+m})$, таких, что
$(x_{1}, \ldots x_{n}) E, - \infty<x_j<+\infty, j=n+1, 
\ldots , n+m$ следующим образом:
{
\begin{equation}
  \label{num:1}
  f^*(x_{1}, \ldots, x_{n}, \ldots , x_{n+m})=f(x_{1}, \ldots, x_{n}) .
  \end{equation}
}
\end{zam}
Таким образом, рассмотрение функции $n$ переменных, как функции $n+m$ переменных, означает фактически продолжение 
по формуле (1) функции $f$ с множества ее определения $E \subset E^n$ на множество 
$E^*=\{(x_{1}, \ldots, x_{n+m}):(x_{1}, \ldots x_{n}) \in E, -\infty <x_j<+\infty, j=n+1,\ldots , n+m\} ,$
лежащее уже в пространстве $E^{n+m}$. Для функции $f^*$, полученной после такого продолжения, имеем
$$
\frac{df^*(x_1,\ldots , x_{n+m})}{dx_i}=
\frac{df(x_1,\ldots , x_n)}{dx_i},
i=1,2,\ldots , n,
$$
$$
\frac{df^*(x_1,\ldots , x_{n+m})}{dx_j}=0,
j=n+1,\ldots , n+m,
$$
}
поэтому
$$
df^*(x_1,\ldots , x_{n+m})=\sum\limits_{i=1}^{n+m} 
\frac{df^*(x_1,\ldots , x_{n+m})}{dx_i}dx_i=
\sum\limits_{i=1}^n\frac{df(x_1,\ldots , x_n)}{dx_i}dx=
df(x_1,\ldots , x_n).
$$
Например, когда мы говорим, что функцию одного переменного $z=f(x)$, определенную на некотором интервале $(a,b)$, 
мы рассматриваем как функцию двух переменных $f(x)=F(x,y), x \in (a,b), -\infty <y<+\infty$, это означает, что функция $F(x,y)$ является постоянной, равной $f(x)$ на любой прямой, проходящей через точку $x$ интервала $(a,b)$ 
оси $Ox$ параллельно оси $Oy$. При этом
$$
\frac{dF(x,y)}{dx}=f'(x), 
\frac{dF(x,y)}{dy}=0,
dF(x y)=df(x),
$$
$$
a<x<b, -\infty <y<+\infty .
$$
Полезно для дальнейшего отметить в известном смысле обратный факт. Пусть $E\subset E^n$. 
Если функция $f^*(x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{n+1})$ определена на множестве
$$
E^*=\{(x_{1}, \ldots, x_{n},x_{n+1}):(x_{1}, \ldots x_{n}) \in E, a<x_{x+1}<b\}
$$
и
{
\begin{equation}
  \label{num:2}
  \frac{df^*(x_1,\ldots , x_n, x_{n+1})}{dx_{n+1}}=0 
  \mbox{ на } E^* 
  \end{equation}
}
то существует функция $f(x_1,\ldots , x_n$ от $n$ переменных, определенная на множестве $E$, и такая, что
$$
 f^*(x_1,\ldots , x_n, x_{n+1})=f(x_i,\ldots ,x_n)
$$
для всех
$$
(x_1,\ldots ,x_n) \in E,x_{n+1}\in (a,b).
$$
В этом случае говорят, что {\itshape функция $f^*$ фактически не зависит от переменной $x_{n+1}$.} 
В самом деле, из условия (20.38) следует, что функция $f^*$ постоянна как функция $x_{n+1}$ (см. лемму п. 11.2) 
при фиксированной точке $(x_1,\ldots , x_n)$, т.е., зафиксировав какое-либо $c\in (a,b)$ для любой точки
$(x_1,\ldots ,x_n) \in E$ и $x_{n+1}\in (a,b)$ имеем
$$
f^*(x_1,\ldots , x_{n+1})=f(x_1,\ldots , x_n, c).
$$
Искомая функция $f$, очевидно, определяется равенством
$$
f(x_1,\ldots , x_n)=f^*(x_1,\ldots , x_n, c) 
$$
причем она не зависит от выбора $c\in (a,b)$.

Из вышесказанного, в частности, следует, что формулы 1-3 для дифференциалов остаются справедливыми и в том случае, когда числа переменных , от которых зависят функции $u$ и $\upsilon$
, - различны, так как всегда в силу указанного приема этот случай можно свести к вышеразобранному случаю одного исла переменных.

\begin{center}
\textbf{20.5 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала. }
\end{center}

Для большей геометрической наглядности, и для того, чтобы не вводить понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных.

Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, определенную на плоском открытом множестве $G$, лежащем на плоскости $E^2$. 
Пусть $(x_0,y_0)\in G$ и пусть в точке $(x_0,y_0)$ существует частная производная $\frac{dz}{dx}$. 
Ее геометрический смысл сразу получается из определения частной производной $\frac{dz}{dx}$ как обычной производной функции $f(x,y)$ по $x$ при фиксированном $y$ 
и из геометрического смысла обычной производной (см. п. 9.3).
В самом деле, возьмем замкнутый круг $Q$ радиуса $r$ с центром в точке $(x_0,y_0)$ и лежащий в $G$
\footnote{Такой круг $Q$ всегда существует.
Действительно, в силу определения открытого множества существует такая $\delta$-окрестность $O$ точки $(x_0,y_0),$
что $O \in G$.
Тогда замкнутый круг $Q$ радиуса $\frac{\delta}{2}$ с центром в точке $(x_0,y_0)$ будет заведомо лежать в $G$.}
.
Пусть $y$ - кривая, заданная представлением
$$
z=f(x,x_0)
$$ 
$$
y=y_0
$$
$$
x_0-r\leqslant x\leqslant x_0+r,
$$
т.е. кривая, которая получается сечением графика функции $z=f(x,y), (x_,y_)\in Q$ с плоксостью $y=y_0$(рис. 74).

\begin{figure}[h] 
\begin{center} 
\includegraphics{krivaya.eps} 
\quad\mbox{} 
\end{center} 
\vspace{-7mm} 
\caption{Cos(x).} 
\label{freq_dist} 
\end{figure}



\end{document}