%Определение вида документа. Обязвтельно для презентаций beamer
\documentclass{beamer}

%Кирилическая кодировка utf
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[english,russian]{babel}
\newtheorem{opr}{Определение}
\newtheorem{theor}{Теорема}

%Стилевые пакеты, которые могут понадобится
\usepackage[unicode]{hyperref}
\usepackage{cmap}
\usepackage{cmlgc}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{times}
\usepackage{amssymb, amsmath}

%ВАРИАНТЫ ОБЩЕГО ДИЗАЙНА СЛАЙДА
%СНИМИТЕ КОММЕНТАРИЙ С НУЖНОГО И
%''ЗАКОММЕНТИРУЙТЕ'' ВСЕ ОСТАЛЬНЫЕ
%\usetheme[secheader]{Madrid}
%\usetheme{Malmoe}
\usetheme[compress]{Singapore}
%\usetheme[secheader]{Boadilla}
%\usetheme[compress]{Dresden}
%\usetheme[compress]{Singapore}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{Luebeck}
%\usetheme[right]{Berkeley}
%\usetheme{PaloAlto}
%\usetheme{Marburg}
%\usetheme{Goettingen}
%\usecolortheme{sidebartab}

%ОФОРМЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СЛАЙДА И ЦВЕТОВАЯ СХЕМА
%\useinnertheme{default}
\useinnertheme{rectangles}
%\useoutertheme[subsection=false]{smoothbars}

%\usecolortheme{rose}
\usecolortheme{seahorse}
%\usecolortheme{whale}
%\usecolortheme{orchid}
%\usecolortheme{dolphin}
%\logo{{\includegraphics[width=0.08\textwidth]{cs-logo.eps}}}

%КОЛОНТИТУЛЫ
\setbeamercovered{dynamic}
\setbeamertemplate{footline}
{
  \leavevmode%
  \hbox{%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{author in head/foot}%
    \usebeamerfont{author in head/foot}\insertshortauthor
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.5\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,center]{title in head/foot}%
    \usebeamerfont{title in head/foot}\insertshorttitle
  \end{beamercolorbox}%
  \begin{beamercolorbox}[wd=.25\paperwidth,ht=2.25ex,dp=1ex,right]{date in head/foot}%
    \usebeamerfont{date in head/foot}\insertshortdate{}\hspace*{2em}
    \hyperlink{content}{\insertframenumber{} / \inserttotalframenumber\hspace*{2ex}}
  \end{beamercolorbox}}%
  \vskip0pt%
}

\setlength{\parskip}{0.5em}

%АВТОР, НАЗВАНИЕ, ОРГАНИЗАЦИЯ, ДАТА
\title[Лаб. раб. 5]
  {\texorpdfstring{Дифференциал функции}}
\author[Дилба К.М.]
{\texorpdfstring{Дилба Карина Михайловна}{}}
\date{\texorpdfstring{20 мая 2020 г.}{May 20, 2020}}
\institute[Орг.]
  {ПетрГУ}

%Конец преамбулы
\begin{document}

%ТИТУЛЬНЫЙ СЛАЙД
\begin{frame}
 \begin{center}
   % ОРГАНИЗАЦИЯ, НАЗВАНИЕ И ДОКЛАДЧИК


   {\insertinstitute}
   \vspace{0.5em}
   \hrule
   \vspace{2em}

    \vspace{1em}

    \Large \bfseries \inserttitle
    
  \end{center}

  \vspace{1em}

  \begin{description}
 
  \item[Должность: Студент]\ \\
    Дилба К. М., \\гр. 22101
  \end{description}
\end{frame}

%СЛАЙД СОДЕРЖАНИЯ С МЕТКОЙ
\label{content}
\begin{frame}
 \frametitle{Содержание}
  \vspace{1.5em}
  \tableofcontents
  \vspace{1.5em}
\end{frame}

%ПЕРВЫЙ СЛАЙД ПРЕЗЕНТАЦИИ. НАЧАЛО ПЕРВОГО РАЗДЕЛА
\section[Дифференциал функции]{Дифференциал функции}
 
\begin{frame}
  \frametitle[Дифференциал функции]{Дифференциал функции}
    \begin{theor}
Для того чтобы функция $f$ была дифференцируема в некоторой точке $x_0$, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, причем в этом случае 
\end{theor}
\begin{equation}
    \label{num:1}
    dy=f'(x_0)dx
\end{equation}
   
\end{frame}

\section{Доказательство необходимости}
\begin{frame}
    \frametitle{Доказательство необходимости.}
    
Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$. Тогда $\lim\limits_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=A + \lim\limits_{\Delta x \to 0}{\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}}=A.$
Поэтому производная $f'(x_0)$ существует и равна $A$. 
Отсюда $dy=f'(x_0)dx$.
\end{frame}

\section{Доказательство достаточности(1)}
\begin{frame}
    \frametitle{Доказательство достаточности}
   Пусть существует производная $f'(x_0)$, т.е. существует предел $\lim\limits_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=f'(x_0)$.
   Тогда 
   $$
   \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+e(\Delta x),
   $$
  где $\lim\limits_{\Delta x \to 0}{e(\Delta x)}=0$,
  и для $x \neq 0$.

\end{frame}

\section{Доказательство достаточности(2)}
\begin{frame}
    \frametitle{Доказательство достаточности}
  \begin{equation}
    \label{num:2}
  \Delta y = f'(x_0)\Delta x + e(\Delta x)\Delta x,
  \end{equation}
  и так как $e(\Delta x)\Delta x=o(\Delta x)$, то наличие равенства (2) и означает дифференцируемость функции $f$ в точке $x_0$.
  
  Теорема доказана
\end{frame}

\section{Наклонная}
\begin{frame}
    \frametitle{Наклонная касательной к графику функции}
    \begin{opr}
Если существует предел $\lim\limits_{h \to 0}{k(h)}=f'(x_0)$, то прямая 
{
\begin{equation}
    \label{num:3}
y=k_0(x-x_0)+y_0,
\end{equation}
}
которая получается из прямой $y=k(h)(x-x_0)+y_0$ при $h\rightarrow 0$, 
называется наклонной касательной к графику функции $f$ в точке $(x_0,y_0)$.
\end{opr}


\end{frame}

\section{Правила}
\begin{frame}
    \frametitle{Правила вычисления производных}
Пусть функции $y_1=f_1(x)$ и $y_2=f_2(x)$ имеют производные в точке $x_0$, 
тогда их сумма $y_1+y_2=f_1(x)+f_2(x)$ также имеет в точке $x_0$ производную и 
\begin{equation}
    \label{num:4}
    (y_1+y_2)'=y_1'+y_2'.
\end{equation}
Таким образом, производная суммы функций равна сумме производных.
\end{frame}
  
\end{document}