Дифференциал функции  Доказательство необходимости  Доказательство достаточности(1)  Доказательство достаточности(2)  Наклонная  Правила

ПетрГУ

Дифференциал функции

Должность: Студент Дилба К. М., гр. 22101

Содержание

1 Дифференциал функции

2 Доказательство необходимости

3 Доказательство достаточности(1)

4 Доказательство достаточности(2)

5 Наклонная

6 Правила

Дифференциал функции

Теорема

Для того чтобы функция f была дифференцируема в некоторой точке x_{0}, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, причем в этом случае

dy = f′(x_{0})dx  (1)

Дифференциал функции  Доказательство необходимости  Доказательство достаточности(1)  Доказательство достаточности(2)  Наклонная  Правила

Доказательство необходимости.

Пусть функция f дифференцируема в точке x_{0}. Тогда lim_{Δx→0} \frac{Δy}{Δx} = A + lim_{Δx→0} \frac{o(Δx)}{Δx} = A. Поэтому производная f′(x_{0}) существует и равна A. Отсюда dy = f′(x_{0})dx.

Дилба К.М.  Лаб. раб. 5  20 мая 2020 г.  4 / 8

Дифференциал функции  Доказательство необходимости  Доказательство достаточности(1)  Доказательство достаточности(2)  Наклонная  Правила

Доказательство достаточности

Пусть существует производная f′(x_{0}), т.е. существует предел lim_{Δx→0} \frac{Δy}{Δx} = f′(x_{0}). Тогда

\frac{Δy}{Δx} = f′(x_{0}) + e(Δx),

где lim_{Δx→0}e(Δx) = 0, и для x ≠ 0.

Дилба К.М.  Лаб. раб. 5  20 мая 2020 г.  5 / 8

Доказательство достаточности

Δy = f′(x_{0})Δx + e(Δx)Δx,  (2)

и так как e(Δx)Δx = o(Δx), то наличие равенства (2) и означает дифференцируемость функции f в точке x_{0}.

Теорема доказана

Наклонная касательной к графику функции

Определение

Если существует предел lim_{h→0} k(h) = f′(x_{0}), то прямая

y = k_{0}(x − x_{0}) + y_{0},  (3)

которая получается из прямой y = k(h)(x − x_{0}) + y_{0} при h → 0, называется наклонной касательной к графику функции f в точке (x_{0}, y_{0}).

Правила вычисления производных

Пусть функции y_{1} = f_{1}(x) и y_{2} = f_{2}(x) имеют производные в точке x_{0}, тогда их сумма y_{1} + y_{2} = f_{1}(x) + f_{2}(x) также имеет в точке x_{0} производную и

(y_{1} + y_{2})′ = y′_{1} + y′_{2}.  (4)

Таким образом, производная суммы функций равна сумме производных.