то целесообразно вычислить деффиринциал этой функции, тогда искомыми частными производными будут коэффициенты при соответствующих дифференциалах.

Так, в рассмотреном примере z = arctg \frac{y}{x}; беря коэффициенты при dx и dy из найденного нами выражения для дифференциала, получим

\frac{dz}{dz} = −\frac{y}{x^{2} + y^{2}} , \frac{dz}{dy} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

Замечание 1. Всякую функцию y = f(x_{1}, … x_{n}) от n переменных можно расматривать в определенном смысле и как функцию от любого числа n+m>n переменных x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, …, x_{n+m}. Именно, для всякой функции f(x_{1}, … x_{n}), заданной на множестве E ⊂ E^{n}, определим функцию f^{∗}(x_{1}, …, x_{n}, …, x_{n+m}) на множество точек (x_{1}, …, x_{n}, …, x_{n+m}), таких, что (x_{1}, … x_{n})E, −∞ < x_{j} < +∞, j = n + 1, …, n + m следующим образом:

f^{∗}(x_{1}, …, x_{n}, …, x_{n+m}) = f(x_{1}, …, x_{n}).  (1)

Таким образом, рассмотрение функции n переменных, как функции n + m переменных, означает фактически продолжение по формуле (1) функции f с множества ее определения E ⊂ E^{n} на множество E^{∗} = {(x_{1}, …, x_{n+m}) : (x_{1}, … x_{n}) ∈ E, −∞ < x_{j} < +∞, j = n + 1, …, n + m}, лежащее уже в пространстве E^{n+m}. Для функции f^{∗}, полученной после такого продолжения, имеем

\frac{df^{∗}(x_{1}, …, x_{n+m})}{dx_{i}} = \frac{df(x_{1}, …, x_{n})}{dx_{i}}, i = 1, 2, …, n,

\frac{df^{∗}(x_{1}, …, x_{n+m})}{dx_{j}} = 0, j = n + 1, …, n + m,

поэтому

df^{∗}(x_{1}, …, x_{n+m}) = ∑_{i=1}^{n+m} \frac{df^{∗}(x_{1}, …, x_{n+m})}{dx_{i}}dx_{i} = ∑_{i=1}^{n} \frac{df(x_{1}, …, x_{n})}{dx_{i}}dx = df(x_{1}, …, x_{n}).

Например, когда мы говорим, что функцию одного переменного z = f(x), определенную на некотором интервале (a, b), мы рассматриваем как функцию двух переменных f(x) = F (x, y), x ∈ (a, b), −∞ < y < +∞, это означает, что функция F (x, y) является постоянной, равной f(x) на любой прямой, проходящей через точку x интервала (a, b) оси Ox параллельно оси Oy. При этом

\frac{dF (x, y)}{dx} = f′(x), \frac{dF (x, y)}{dy} = 0, dF (xy) = df(x),

a < x < b, −∞ < y < +∞.

Полезно для дальнейшего отметить в известном смысле обратный факт. Пусть E ⊂ E^{n}. Если функция f^{∗}(x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1}) определена на множестве

E^{∗} = {(x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1}) : (x_{1}, … x_{n}) ∈ E, a < x_{x+1} < b}

и

\frac{df^{∗}(x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1})}{dx_{n+1}} = 0 на E^{∗}  (2)

то существует функция f(x_{1}, …, x_{n} от n переменных, определенная на множестве E, и такая, что

f^{∗}(x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1}) = f(x_{i}, …, x_{n})

для всех

(x_{1}, …, x_{n}) ∈ E, x_{n+1} ∈ (a, b).

В этом случае говорят, что функция f^{∗} фактически не зависит от переменной x_{n+1}. В самом деле, из условия (20.38) следует, что функция f^{∗} постоянна как функция x_{n+1} (см. лемму п. 11.2) при фиксированной точке (x_{1}, …, x_{n}), т.е., зафиксировав какое-либо c ∈ (a, b) для любой точки (x_{1}, …, x_{n}) ∈ E и x_{n+1} ∈ (a, b) имеем

f^{∗}(x_{1}, …, x_{n+1}) = f(x_{1}, …, x_{n}, c).

Искомая функция f, очевидно, определяется равенством

f(x_{1}, …, x_{n}) = f^{∗}(x_{1}, …, x_{n}, c)

причем она не зависит от выбора c ∈ (a, b).

Из вышесказанного, в частности, следует, что формулы 1-3 для дифференциалов остаются справедливыми и в том случае, когда числа переменных , от которых зависят функции u и υ , - различны, так как всегда в силу указанного приема этот случай можно свести к вышеразобранному случаю одного исла переменных.

20.5 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.

Для большей геометрической наглядности, и для того, чтобы не вводить понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных.

Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную на плоском открытом множестве G, лежащем на плоскости E^{2}. Пусть (x_{0}, y_{0}) ∈ G и пусть в точке (x_{0}, y_{0}) существует частная производная \frac{dz}{dx}. Ее геометрический смысл сразу получается из определения частной производной \frac{dz}{dx} как обычной производной функции f(x, y) по x при фиксированном y и из геометрического смысла обычной производной (см. п. 9.3). В самом деле, возьмем замкнутый круг Q радиуса r с центром в точке (x_{0}, y_{0}) и лежащий в G ^{1} . Пусть y - кривая, заданная представлением

z = f(x, x_{0})
y = y_{0}
x_{0} − r ⩽ x ⩽ x_{0} + r,

т.е. кривая, которая получается сечением графика функции z = f(x, y), (x_{,}y_{)} ∈ Q с плоксостью y = y_{0}(рис. 74).

1Такой круг Q всегда существует. Действительно, в силу определения открытого множества существует такая δ-окрестность O точки (x_{0}, y_{0}), что O ∈ G. Тогда замкнутый круг Q радиуса \frac{δ}{2} с центром в точке (x_{0}, y_{0}) будет заведомо лежать в G.