Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию f, а ее произведение на дифференциал dx.Это делается,например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищут первообразную:

∫ x^{2}zdx = \frac{x^{3}z}{3} + C, ∫ x^{2}zdz = \frac{x^{2}z^{2}}{2} + C.

Здесь в обоих случаях подынтегрпальная функция равна x^{2}z, но ее неопределенные интегралы в первом и втором случаях различны,так как в первом случае она рассматривается как функция от переменной x, а во втором - как функция от z.

Другие принципиально более важные удобства, вытекающие из использования записи ∫ f(x)dx, будут указаны в дальнейшем(см.замену переменной в интеграле в п.19.4).

Если F - какая-либо первообразная функция f на промежутке Δ,то согласно формуле(19.4) под знаком интеграла стоит дифференциал функции F:

dF (x) = F′(x)dx = f(x)dx.  (1)

Будем считать по определению, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записать в любом из указанных видов, т.е. согласно этому соглашению

∫ f(x)dx = ∫ F′(x)dx = ∫ dF (x).  (2)

19.2 Основные свойства интеграла. Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке Δ.Перечислим свойства неопределенного интеграла, вытекающие непосредственно из его определения.

1^{∘}.Если функция F дифференцируема на промежутке Δ, то ∫ dF (x) = F (x) + C, или, что то же самое,

∫ F′(x)dx = F (x) + C

Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

2^{∘}.Пусть функция f имеет первообразную на промежутке Δ; тогда для всех x ∈ Δ имеет равенство

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.  (3)

Отметим, что в этом равенстве под интегралом ∫ f(x)dx понимается произвольная первообразная F функции f. Поэтому (??) можно записать в виде равенства dF (x)dx = f(x)dx,справедливость которого следует из того, что F -первообразная f(т.е. из (19.1)).

3^{∘}.Если функция f_{1} и f_{2}имеют первообразные на промежутке Δ,то и функция f_{1}+f_{2} имеет первообразную на этом промежутке, причем

∫ (f_{1}(x) + f_{2}(x))dx = ∫ f_{1}(x)dx + ∫ f_{2}(x)dx.  (4)

Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций.В правой его части стоит арифметическая сумма множеств(ее определение см.в п.4.3).Оно означает, что сумма каких-либо первообразных для функций f_{1} и f_{2} является первообразной для функции f_{1}+f_{2} и что, наоборот, всякая первообразная для функции f_{1}+f_{2} является суммой некоторых первообразных для функций f_{1} и f_{2}.

▷ Пусть F_{1} и F_{2} - первообразные соотвественно функций f_{1} и f_{2}, т.е. в каждой точке x ∈ Δ выполняются равенства F′_{1}(x) = f_{1}(x),F′_{2}(x) = f_{2}(x).Тогда неопределнные интегралы ∫ f_{1}(x)dx и ∫ f_{2}(x)dx состоят соответственно из функций вида F_{1}(x) + C_{1} и F_{2}(x) + C_{2}, где C_{1} и C_{2} - произвольные постоянные.Положим F (x) = F_{1}(x) + F_{2}(x), тогда функция F будет первообразной для функции f_{1}+f_{2}, ибо F′(x) = F′_{1}+F′_{2}()x = f_{1} + f_{2},x ∈ Δ.

Следовательно, интеграл ∫ (f_{1}(x)+f_{2}(x))dx состоит из функций F (x)+ C = F_{1}(x) + F_{2}(x) + C, в то время как сумма интегралов ∫ f_{1}(x)dx + ∫ f_{2}(x)dx-из функций вида F_{1}(x) + C_{1} + F_{2}(x) + C_{2}.Поскольку C, C_{1}, C_{2}- произвольные постоянные, то оба эти множества,т.е. левая и правая части равенства (??), совпадают.◁

4^{∘}.Если функция f имеет первообразную на промежутке Δ и k - число,то функция kf также имеет на Δ певрообразную и при k ≠ 0 справедливо равенство

∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx.  (5)

Это равенство так же, как равенство (??), является равенством множеств.

▷ Пусть F - первообразная функция f,т.е F′(x) = f(x), x ∈ Δ.Тогда функция kF является первообразной функции kf на промежутке Δ при любом k ∈ R,ибо (kF (x))′ = kF′(x) = kf(x),x ∈ Δ.Поэтому интеграл ∫ kf(x)dx состоит из всевозможных функций вида kF + C,а интеграл k(x)dx- из всевозможных функций k(F + C) = kF + kC.В силу произвольности постоянной C и условия k ≠ 0 обе совокупности функций совпадают.Это и означает справедливость равенства (??).◁

Следствие(линейность интеграла).Если функции f_{1} и f_{2} имеют первообразные на промежутке Δ, а λ_{1} ∈ R и λ_{2} ∈ R - такие числа, что λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} > 0,то функция λ_{1}f_{1} + λ_{2}f_{2} также имеет первообразую на Δ, причем

∫ (λ_{1}f_{1}(x_{1}) + λ_{2}f_{2}(x_{2}))dx = λ_{1} ∫ f_{1}(x)dx + λ_{2} ∫ f_{2}(x)dx.

Это непосредственно следует из свойств 3^{∘} и 4^{∘}. Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько

позже (п. 25.2), а теперь рассмотрим простейшие методы вычисления интегралов для элементарных функций.

19.3 Табличные интегралы. Из всякой формулы для производной некоторой функции

F′(x) = f(x)  (6)

следует формула для неопределенного интеграла

∫ f(x)dx = F (x) + C.  (7)

Иначе говоря,чтобы проверить формулу (??) для конкретных функций, надо проверить для них справедливость равенства (??) во всех точках рассматриваемого промежутка.Таким способом можно доказать справедливость следующих пятнадцати формул, называемых табличными интералами.

1.∫ x^{α}dx = \frac{x^{α+1}}{α+1} + C, α ≠ −1. 2.∫ \frac{dx}{x} = ln |x| + C. 3.∫ a^{x}dx = \frac{a^{x}}{ln a} + C, a > 0, a ≠ 1, , ∫ e^{x}dx = e^{x} + C. 4.∫ sin xdx = − cos x + C. 5.∫ cos xdx = sin x + C. 6.∫ \frac{dx}{cos^{2} x} = tg x + C. 7.∫ \frac{dx}{sin^{2} x} = − ctg x + C. 8.∫ sh xdx = ch x + C. 9.∫ ch xdx = sh x + C. 10.∫ \frac{dx}{ch^{2} x} = th x + C. 11.∫ \frac{dx}{sh^{2} x} = − cth x + C. 12.∫ \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C = −\frac{1}{a} arcctg \frac{x}{a} + C.

Рис. 1: Парабола. 4