\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\inputencoding{utf8}
\begin{document}
Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию $f$, а ее произведение на дифференциал $dx$.Это делается,например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищут первообразную:
$$ \int x^2zdx=\frac{x^3z}{3}+C ,   \int x^2zdz=\frac{x^2z^2}{2}+C.$$

Здесь в обоих случаях подынтегрпальная функция равна $x^2z$, но ее неопределенные интегралы в первом и втором случаях различны,так как в первом случае  она рассматривается как функция от переменной $x$, а во втором - как функция от $z$.\par
Другие принципиально более важные удобства, вытекающие из использования записи $\int f(x)dx$, будут указаны в дальнейшем(см.замену переменной в интеграле в п.19.4).\par
Если $F$ - какая-либо первообразная функция $f$ на промежутке $\Delta$,то согласно формуле(19.4) под знаком интеграла стоит дифференциал функции $F$:
\begin{equation}
 dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx. 
\label{eq:1}
\end{equation}
Будем считать по определению, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записать в любом из указанных видов, т.е. согласно этому соглашению 
\begin{equation}
\int f(x)dx = \int F'(x)dx=\int dF(x).
\label{eq:2}
\end{equation}
\par
\textbf{19.2 Основные свойства интеграла.} Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке $\Delta$.Перечислим свойства неопределенного интеграла, вытекающие непосредственно из его определения.\par
$1^\circ$.{\it Если функция $F$ дифференцируема на промежутке $\Delta$, то $\int dF(x)=F(x)+C$, или, что то же самое,
$$ \int F'(x)dx=F(x)+C $$}\par
Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.\par
$2^\circ$.{\it Пусть функция $f$ имеет первообразную на промежутке $\Delta$; тогда для всех $x\in\Delta$ имеет равенство}
\begin{equation}
 d\int f(x)dx=f(x)dx.
\label{eq:3}
\end{equation}
\par
Отметим, что в этом равенстве под интегралом $\int f(x)dx$ понимается произвольная первообразная $F$ функции $f$. Поэтому (\ref{eq:3}) можно записать в виде равенства $dF(x)dx=f(x)dx$,справедливость которого следует из того, что $F$-первообразная $f$(т.е. из (19.1)).\par
$3^\circ$.{\it Если функция $f_1$ и $f_2$имеют первообразные на промежутке $\Delta$,то и функция $f_1$+$f_2$ имеет первообразную на этом промежутке, причем}
\begin{equation}
\int (f_1(x)+f_2(x))dx = \int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx.
\label{eq:4}
\end{equation}
\par
Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций.В правой его части стоит арифметическая сумма множеств(ее определение см.в п.4.3).Оно означает, что сумма каких-либо первообразных для функций $f_1$ и $f_2$ является первообразной для функции $f_1$+$f_2$ и что, наоборот, всякая первообразная для функции $f_1$+$f_2$ является суммой некоторых первообразных для функций $f_1$ и $f_2$.\par
$\triangleright$  Пусть $F_1$ и $F_2$ - первообразные соотвественно функций $f_1$ и $f_2$, т.е. в каждой точке $x\in\Delta$ выполняются равенства $F_1'(x)=f_1(x)$,$F_2'(x)=f_2(x)$.Тогда неопределнные интегралы $\int f_1(x)dx$ и $\int\limits f_2(x)dx$ состоят соответственно из функций вида $F_1(x)+C_1$ и $F_2(x)+C_2$, где  $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.Положим $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$, тогда функция $F$ будет первообразной для функции $f_1+f_2$, ибо $F'(x)=F_1'+F_2'()x=f_1+f_2$,$x\in\Delta$.\par
Следовательно, интеграл $\int(f_1(x)+f_2(x))dx$ состоит из функций $F(x)+C=F_1(x)+F_2(x)+C$, в то время как сумма интегралов $\int\limits f_1(x)dx+\int f_2(x)dx$-из функций вида $F_1(x)+C_1+F_2(x)+C_2$.Поскольку $C,C_1,C_2$-произвольные постоянные, то оба эти множества,т.е. левая и правая части равенства (\ref{eq:4}), совпадают.$\triangleleft$\par
$4^\circ$.{\it Если функция $f$ имеет первообразную на промежутке $\Delta$ и $k$ - число,то функция $kf$ также имеет на $\Delta$ певрообразную и при $k \neq 0$ справедливо равенство} 
\begin{equation}
\int kf(x)dx=k\int f(x)dx.
\label{eq:5}
\end{equation}
\par
Это равенство так же, как равенство (\ref{eq:4}), является равенством множеств.\par
$\triangleright$ Пусть $F$ - первообразная функция $f$,т.е $F'(x)=f(x),x\in\Delta$.Тогда функция $kF$ является первообразной функции $kf$ на промежутке $\Delta$ при любом $k \in R$,ибо $(kF(x))'=kF'(x)=kf(x)$,$x\in\Delta$.Поэтому интеграл $\int kf(x)dx$ состоит из всевозможных функций вида $kF+C$,а интеграл $k\intf(x)dx$- из всевозможных функций $k(F+C)=kF+kC$.В силу произвольности постоянной $C$ и условия $k \neq 0$ обе совокупности функций совпадают.Это и означает справедливость равенства (\ref{eq:5}).$\triangleleft$ \par
Следствие(линейность интеграла).{\it Если функции $f_1$ и $f_2$ имеют первообразные на промежутке $\Delta$, а $\lambda_1 \in R $ и $\lambda_2 \in R $ - такие числа, что $\lambda_1^2+\lambda_2^2$ > 0,то функция $\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2$ также имеет первообразую на $\Delta$, причем} $$\int(\lambda_1 f_1 (x_1)+\lambda_2 f_2 (x_2))dx = \lambda_1\int f_1 (x)dx + \lambda_2 \int f_2 (x)dx.$$\par
Это непосредственно следует из свойств $3^\circ$ и $4^\circ.$\par
Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько позже (п. 25.2), а теперь рассмотрим простейшие методы вычисления интегралов для элементарных функций.\par
\textbf{19.3 Табличные интегралы.} Из всякой формулы для производной некоторой функции 
\begin{equation}
F'(x)=f(x)
\label{eq:6}
\end{equation}
следует формула для неопределенного интеграла
\begin{equation}
\int f(x)dx = F(x) + C .
\label{eq:7}
\end{equation}
\par
Иначе говоря,чтобы проверить формулу (\ref{eq:7}) для конкретных функций, надо проверить для них справедливость равенства (\ref{eq:6}) во всех точках рассматриваемого промежутка.Таким способом можно доказать справедливость следующих пятнадцати формул, называемых \it{табличными интералами.}\par
1.$\int x^\alpha dx =\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C, \alpha \neq -1.$\par
2.$\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C.$\par
3.$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C, a > 0, a\neq 1, в частности, \int e^x dx = e^x + C. $\par
4.$\int \sin x dx = - \cos x +C$.\par
5.$\int \cos x dx = \sin x +C$.\par
6.$\int \frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x + C$.\par
7.$\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-\ctg x + C$.\par
8.$\int \sh x dx = \ch x +C$.\par
9.$\int \ch x dx = \sh x +C$.\par
10.$\int \frac{dx}{\ch^2 x}= \th x + C$.\par
11.$\int \frac{dx}{\sh^2 x}= -\cth x + C$.\par
12.$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctg \frac{x}{a}+C = -\frac{1}{a}\arcctg \frac{x}{a}+C$.\par
\end{document}







