3
Классификация соcтояний цепи Маркова
Невозвратные состояния 
Классическая задача о разорении. Математическое ожидание продолжительности игры
Классификация соcтояний цепи Маркова.
5
1. Когда состояние \( E_{j}\) называется  возвратным?
2
при \( f_{jj} < \infty \);
при \( f_{jj} = \infty \);
при \( f_{jj} > \infty \).
2. Возвратное состояние  \( E_{j}\) называется нулевым если:
1
среднее время возвращения \( \mu_{j} = \infty \);
среднее время возвращения \( \mu_{j} = 0  \);
среднее время возвращения \( \mu_{j} \) конечно.
3. Какое состояние цепи Маркова называется эргодическим?
1
непериодическое возвратное состояние, у которого \( \mu_{j} < \infty \);
периодическое возвратное состояние, у которого \( \mu_{j} = \infty \);
периодическое возвратное состояние, у которого \( \mu_{j} < \infty \);
4. Состояние \( E_{j}\) является невозвратным состоянием тогда и только тогда, когда:
3
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} p_{jj} = \infty \);
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} p_{jj} = 1 \);
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} p_{jj} < \infty \);
5. Если \( E_{j}\) - непериодическое состояние, то:
3
\( p_{ij}^{(n)} \to \infty \);
\( p_{ij}^{(n)} \to \infty \) или \( p_{ij}^{(n)} \to f_{ij}*\mu_{i}^{-1} \);
\( p_{ij}^{(n)} \to 0 \) или \( p_{ij}^{(n)} \to f_{ij}*\mu_{i}^{-1} \);
Невозвратные состояния.
5
1. При каком условии цепь называется мартингалом?
1
\( \sum \limits_ {k} p_{jk}*k = j \);
\( \sum \limits_ {k} p_{jk}*k = 1 \);
\( \sum \limits_ {k} p_{jk}*k = \infty \).
2. Квадратная матрица Q с элементами \( q_{ik} \geq 0\) называется субстохастической если: 
3
сумма элементов каждой строки равна 0;
сумма элементов каждой строки отрицательна;
сумма элементов каждой строки \( \leq 1 \).
3. При каком условии начальное состояние \( E_{0}\) в неприводимой цепи Маркова является возвратным?
1
когда \( x_{i} = \sum \limits_{\nu=1}^{\infty} p_{j\nu}*x_{\nu}\), \( i \geq 0\), исключая решения, удовлетворяющие условию \( 0 < x_{i} \leq 1 \);
когда \( x_{i} = \sum \limits_{-\infty}^{+\infty} p_{j\nu}*x_{\nu}\), \( i \leq 0\);
когда \( x_{i} = \sum \limits_{-\infty}^{+\infty} p_{j\nu}*x_{\nu}\), \( i \geq 0\), исключая решения, удовлетворяющие условию \( 0 \leq x_{i} \leq 1 \).
4. Решая какую из следующих систем можно получить вероятности окончательного поглощения замкнутым возвратным множеством?
2
\( y_{i} = \sum \limits_{T} p_{i\nu} + \sum \limits_{C} p_{i}\nu_{i} \);
\( y_{i} = \sum \limits_{T} p_{i\nu}*y_{\nu} + \sum \limits_{C} p_{i}\nu_{i} \);
\( y_{i} = \sum \limits_{C} p_{i\nu}*y_{\nu} + \sum \limits_{T} \nu_{i} \);
5. Каким должно быть это решение?
1
минимальным неотрицательным;
максимальным положительным;
минимальным отрицательным.
Классическая задача о разорении. Математическое ожидание продолжительности игры.
7
1. Какой формулой выражается вероятность разорения игрока, при \( p = q = \frac{1}{2}\) ?
1
\( q_{z} = 1 - \frac{z}{a} \);
\( q_{z} = \frac{z}{a} \);
\( q_{z} = \lim_{z \to \infty}  \frac{z}{a}   \).
2. Какой формулой выражается вероятность разорения игрока, при \( p \ne q\) ?
2
\( q_{z} = \frac{\left( \frac{p}{q} \right)^a - \left( \frac{p}{q} \right)^z }{ \left( \frac{p}{q} \right)^a } \);
\( q_{z} = \frac{\left( \frac{q}{p} \right)^a - \left( \frac{q}{p} \right)^z }{ \left( \frac{q}{p} \right)^a - 1 } \);
\( q_{z} = \frac{\left( \frac{p}{q} \right)^z - \left( \frac{p}{q} \right) }{ \left( \frac{p}{q} \right)^a - 1 } \).
3. Чему равен ожидаемый выигрыш игрока?
1
\( E(G) = a*\left(1 - q_{z}\right) - z \);
\( E(G) = z*\left(1 - q_{z}\right) - a \);
\( E(G) = a*\left(1 - q_{z}\right) + z \).
4. Если удвоить ставки, а начальный капитал оставить неизменным, то для какого игрока уменьшается вероятность разорения?
1
Для игрока, у которого вероятность успеха \( p < \frac{1}{2} \);
Для игрока, у которого вероятность успеха \( p > \frac{1}{2} \);
Для игрока, у которого вероятность успеха \( p < 0 \);
5. Чему равна вероятность \( q_{z} \) окончательного разорения игрока с начальным капиталом z, который играет против бесконечно богатого соперника ?
3
1;
0;
\( q_{z} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{если } p\leq q \\ \left( \frac{q}{p} \right)^z & \textrm{если } p > q  \end{array} \right. \).
6. Чему равно математическое ожидание продолжительности игры в классической задаче о разорении при \( p \ne q\) ?
2
\( D_{z} = z*(a - z) \);
\( D_{z} = \frac{z}{q - p} - \frac{a}{q - p}*\frac{1- \left( \frac{q}{p} \right)^z }{1- \left( \frac{q}{p} \right)^a} \);
\( D_{z} = \frac{z}{q - p} - \frac{1- \left( \frac{p}{q} \right)^z }{1- \left( \frac{p}{q} \right)^a} \).
7. Чему равно математическое ожидание продолжительности игры в классической задаче о разорении при \( p = q = \frac{1}{2}\) ?
1
\( D_{z} = z*(a - z) \);
\( D_{z} = \frac{z}{q - p} - \frac{a}{q - p}*\frac{1- \left( \frac{q}{p} \right)^z }{1- \left( \frac{q}{p} \right)^a} \);
\( D_{z} = \frac{z}{q - p} - \frac{1- \left( \frac{p}{q} \right)^z }{1- \left( \frac{p}{q} \right)^a} \).