Обобщим результаты анализа в Шаге 2

1. Для моделирования популяции используется разностное уравнение $x_{k+1} = Ax_k$, вся популяция разделена на $n$ классов особей, матрица $A$ размерности $n × n$ описывает коэффициенты плодовитости и выживаемости по классам.

2. Собственные значения матрицы A, упорядоченные по значению модуля:

$$|\lambda_1| \ge |\lambda_2| \dots |\lambda_n|$$

3. Если матрица $А$ является диагонализируемой или если $А$ имеет различные (возможно, комплексные) собственные значения, то $х_к$ может быть выражен через его собственные значения и соответствующие собственные векторы:

$$x_k = c_1(\lambda_1)^kv_1 + c_2(\lambda_2)^kv_2 + c_3(\lambda_3)^kv_3$$

Напоминание:

  1. Матрица $A$ размера $n×n$ над полем $F$ является диагонализируемой тогда и только тогда, когда сумма размерностей собственных подпространств равна $n$, что справедливо тогда и только тогда, когда существует базис $F^n$, состоящий из собственных векторов $A$. Если такой базис найден, можно создать матрицу $P$, в которой столбцами являются базисные векторы, и $P^{−1}AP$ является диагональной матрицей. Значения на диагонали данной матрицы являются собственными значениями $A$.

  2. Матрица $A$ размера n×n диагонализируема над полем $F$, если она имеет $n$ различных собственных значений в $F$, то есть если её характеристический многочлен имеет $n$ различных корней в $F$; обратное утверждение может не быть верным

4. Если $|\lambda_1| <1$, то популяция вымирает

5. Если $\lambda_1$ - действительное число, большее 1, а все остальные собственные значения меньше 1, то популяция экспоненциально возрастает. В этом случае собственный вектор $v_1$ дает устойчивое распределение популяции между классами и дает процентные значения для каждого класса в случае, если его компоненты масштабируются так, что их сумма равна 1.

Модель со сбором урожая

Рассмотрим более сложную модель, когда из популяции ежегодно изымается некоторая доля $ 0 \le h \le 1$, что характерно для задач, например, в лесной или рыбной промышленности. Основной вопрос - сколько можно изымать ежегодно, чтобы сохранить численность популяции на том же уровне. Модель популяции можно описать следующим уравнением $$x_{k+1} = Ax_k - hAx_k$$

Задача: найти $h$, при котором численнойть популяции остается постоянной. Т.к. теперь численность одинакова в $k$ и $k+1$ год, то индекс $k$ можно опустить): $$x= Ax-hAx=(1-h)Ax$$ => $$Ax=\frac{1}{1-h}x$$

Тогда число $\frac{1}{1-h}$ должно быть собственным числом матрицы $A$. Т.к. $h < 1$, то $\frac{1}{1-h} > 1$. Если $\lambda_1$ - это единственное собственное значение с модулем $ > 1$, тогда $\frac{1}{1-h}=\lambda_1$ или $$h=\frac{\lambda_1-1}{\lambda_1}$$.

Для растущей популяции из Шага 2 $\lambda_1 = 1.01$.

Несмотря на то, что трудно представить сбор урожая применительно к популяции сов, соответствующий расчет показывает, что h ≈ .0099. Действительно:

In [5]:
(1.01-1)/1.01
Out[5]:
0.00990099009900991
In [6]:
# где на самом деле хранится результат
print(_)

0.00990099009900991
In [12]:
# действительно, есть переменная с таким именем
h=_
h
Out[12]:
0.0099
In [11]:
round(h, 4)
Out[11]:
0.0099

Таким образом, $0.99\%$ популяции можно изымать каждый год и численность останется константой.

Необходимо провести исследования и ответить на дледующие вопросы

1. Северная пятнистая сова.

Используя следующие данные, составьте матрицу A и определите прогноз прироста популяции северной пятнистой совы (Northern spotted owl). Является ли популяция вымирающей? Вычислите долю ежегодной потери численности, при которой численность популяции остается константой из года в год.

Данные (коэффициенты): выживаемость молодых =.33; выживаемость средних = .85; выживаемость взрослых = .85; плодовистость молодых = .125; плодовитость взрослых = .26.

2. Популяция синего кита.

С начала XX века численность синего кита стала быстро снижаться в связи с бесконтрольным промыслом. К 1960-м годам синий кит был практически истреблён и оказался на грани полного исчезновения — в 1963 году оставалось не более 5000 особей. В настоящее время, несмотря на принятые меры охраны, синий кит по-прежнему очень редок — общая численность не превышает 10 000 особей.

Из-за длительного периода беременности, привычек спаривания и миграции голубого кита, самка может производить теленка только один раз в два года. Поэтому определим следующие возрастные классы: менее 2 лет, 2 или 3 года, 4 или 5 лет, 6 или 7 лет, 8 или 9 лет, 10 или 11 лет и 12 и более лет.

В следующей матрице приводятся данные 1930-го года (до его фактического исчезновения синего кита и значительного изменения показателей выживаемости).

\begin{equation} A_{7 \times 7}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & .19 & .44 & .50 & .50 & .45 \\ .77 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & .77 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & .77 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & .77 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & .77 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & .77 & .78 \end{bmatrix}_{7 \times 7} \end{equation}

Определите, исчезает ли популяция синих китов в этой модели. Если популяция не вымирающая, определите процент особей каждого класса в стабильной популяции. Оцените пороговое значение для доли численности китов, истребление выше которого приведет к вымиранию популяции.

3. Ольха

Приведенный в Шаге 2 метод моделирования также может быть применен к растениям. Вместо возрастных классов используются классы, основанные на размере растения. В статье "Huenneke, L. F. and Marks, P. L. Stem Dynamics of the Shrub Alcus Incana SSP. Rugosa: Transition Models. Ecology 68 (1987), 1234-1242." растения ольхи сгруппирована в пять классов по диаметру ствола: менее 1,1 см; 1,1 см; 1-1,9 см; 2-2,9 см и 3-3,9 см. Динамика популяции задается следующей матрицей:

\begin{equation} A_{5 \times 5}=\begin{bmatrix} .78 & .02 & .06 & .10 & .14 \\ .12 & .76 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & .12 & .86 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & .14 & .58 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & .38 & .83 \\ \end{bmatrix}_{5 \times 5} \end{equation}

Определите, вымирает ли популяция ольхи в этой модели? Если нет, то определите процент каждого класса в стабильной популяции.

Замените значения в первой строке матрицы на следующие .78 .06 .18 .30 .42

Определите, вымирает ли популяция ольхи в этой модели? Если нет, то определите процент каждого класса в стабильной популяции. Найдите процент численности, которые можно собирать каждый год, сохраняя постоянная численность из года в год.